頻率響應法--奈奎斯特穩定判據

＝常數

這說(shuō)明當s沿著(zhù)半徑為無(wú)窮大的半圓變化時(shí)，函數 始終是一常數。由此， 平面上的映射曲線(xiàn) 是否包圍坐標原點(diǎn)，只取決于奈氏軌線(xiàn)中 部分的映射，即由 軸的映射曲線(xiàn)來(lái)表征。

設在 軸上不存在 的極點(diǎn)和零點(diǎn)，則當s沿著(zhù) 軸由 運動(dòng)到 時(shí)，在 平面上的映射曲線(xiàn) 為

(5-43)

設閉合曲線(xiàn) 以順時(shí)針?lè )较虬鼑?img onload="if(this.width>620)this.width=620;" onclick="window.open(this.src)" style="cursor:pointer" style="ZOOM: 1" height=21 src="http://editerupload.eepw.com.cn/fetch/20131227/208164_3_17.jpg" width=35 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1186"> 的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)，由輻角原理可知，在 平面上的映射曲線(xiàn) 將按順時(shí)針?lè )较驀@著(zhù)坐標原點(diǎn)旋轉N周，其中

(5-44)

由于

因而映射曲線(xiàn) 對其坐標原點(diǎn)的圍繞相當于開(kāi)環(huán)頻率特征曲線(xiàn) 對GH平面上的（－1，j0）點(diǎn)的圍繞，圖5－38示出了奈氏曲線(xiàn)映射在這兩個(gè)平面上的位置。

通過(guò)上述分析可知，閉環(huán)系統的穩定性可通過(guò)其開(kāi)環(huán)頻率響應 曲線(xiàn)對（－1，j0）點(diǎn)的包圍與否來(lái)判別，這就是下述的奈奎斯特穩定判據。

奈奎斯特穩定判據：

(1) 如果開(kāi)環(huán)系統是穩定的，即P＝0，則閉環(huán)系統穩定的充要條件是 曲線(xiàn)不包圍（－1，j0）點(diǎn)。

(2) 如果開(kāi)環(huán)系統不穩定，且已知有P個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在s的右半平面，則閉環(huán)系統穩定的充要條件是 曲線(xiàn)按逆時(shí)針?lè )较驀@（－1，j0）點(diǎn)旋轉P周。

綜上，應用奈氏判據判別閉環(huán)系統的穩定性的具體步驟為：

（1）首先要確定開(kāi)環(huán)系統是否穩定，若不穩定，則P為多少？

（2）作出奈氏曲線(xiàn) 。具體作圖時(shí)可先畫(huà)出 從0到 的一段曲線(xiàn)，然后以實(shí)軸為對稱(chēng)軸，畫(huà)出 從0到 的另一段曲線(xiàn)，從而得到完整的奈氏曲線(xiàn)。

（3）計算奈氏曲線(xiàn) 對點(diǎn)（－1，j0）按順時(shí)針?lè )较虻陌鼑礜。

（4）根據輻角原理確定Z是否為零。如果Z＝0，表示.閉環(huán)系統穩定；反之， ，表示該閉環(huán)系統不穩定。Z的數值反映了閉環(huán)特征方程式的根在s右半平面上的個(gè)數。

例 5－5 試用奈氏判據判別閉環(huán)系統的穩定性。

系統的開(kāi)環(huán)傳遞函數為

試用奈氏判據判別閉環(huán)系統的穩定性。

解：當ω由 變化時(shí)， 曲線(xiàn)如圖5－39所示。因為 的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為－0.5，－1，－2，在s的右半平面上沒(méi)有任何極點(diǎn)，即P＝0，由圖5－39可知，由于奈氏曲線(xiàn)不包圍（－1，j0）這點(diǎn)，因此N＝0，則Z＝N＋P＝0。這表示該閉環(huán)系統是穩定的。

5.4.3 奈奎斯特穩定性判據的進(jìn)一步說(shuō)明

1、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于虛軸的情況

如果 在虛軸上存在極點(diǎn)，那么就不能