頻率響應法--奈奎斯特穩定判據

前面我們從代數角度出發(fā)討論了控制系統穩定性的定義和勞斯－赫爾維茨穩定判據。本節介紹判別系統穩定性的另一種判據――奈奎斯特穩定判據。該判據是根據開(kāi)環(huán)頻率特性來(lái)判定閉環(huán)系統的穩定性。同時(shí)，它還能反映系統的相對穩定的程度，對于不穩定的系統，判據與勞斯穩定判據一樣，還能確切回答閉環(huán)系統有多少個(gè)不穩定的特征根。

對于圖5－34所示的反饋控制系統，閉環(huán)傳遞函數為：

(5-38)

其特征方程式為

(5-39)

令

(5-40)

將式（5－40）代入式（5－39）得

式中， 、 、…、 是 的零點(diǎn)，也是閉環(huán)特征方程式的根； 、 、…、 是 的極點(diǎn)，也是開(kāi)環(huán)傳遞函數的極點(diǎn)。因此根據前述閉環(huán)系統穩定的充分必要條件，要使閉環(huán)系統穩定，特征函數 的全部零點(diǎn)都必須位于s平面的左半平面上。

5.4.1 輻角原理

由于 是s的有理分式，則由復變函數的理論知道， 除了在s平面上的有限個(gè)奇點(diǎn)外，它總是解析的，即為單值、連續的正則函數。因而對于s平面上的每一點(diǎn)，在 平面上必有唯一的一個(gè)映射點(diǎn)與之相對應。同理，對s平面上任意一條不通過(guò) 的極點(diǎn)和零點(diǎn)的閉合曲線(xiàn) ，在 平面上必有唯一的一條閉合曲線(xiàn) 與之相對應，如圖5－35所示。若s平面上的閉合曲線(xiàn) 按順時(shí)針?lè )较蜻\動(dòng)，則其在 平面上的映射曲線(xiàn) 的運動(dòng)方向可能是順時(shí)針，也可能是逆時(shí)針，它完全取決于復變函數 本身的特性。在此我們感興趣的不是映射曲線(xiàn) 的具體形狀，而是它是否包圍 平面的坐標原點(diǎn)以及圍繞原點(diǎn)的方向和圈數，因為它與系統的穩定性有著(zhù)密切的關(guān)系。

圖5－35　s平面上封閉曲線(xiàn)及其在F(s)平面上的映射線(xiàn)

由式（5-41）可知，復變函數 的相角為

(5-42)

假設s平面上的閉合曲線(xiàn)