混合靈敏度H∞控制在平臺穩定回路上的應用

0   引言

如今，隨著(zhù)網(wǎng)絡(luò )信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，以及人們對力學(xué)、電學(xué)等理工學(xué)科研究的不斷深入，慣性導航技術(shù)也在隨之發(fā)生著(zhù)日新月異的變化。在慣性導航系統中，控制技術(shù)起著(zhù)至關(guān)重要的作用，目前平臺式慣導控制大多采用經(jīng)典頻域控制設計方法。隨著(zhù)控制技術(shù)的發(fā)展，魯棒控制理論也得到了極大的發(fā)展，它對于控制對象存在不確定性和結構攝動(dòng)有更好的控制效果。本文采用魯棒H_∞控制對平臺穩定回路進(jìn)行控制，通過(guò)選擇適當的權函數將平臺穩定回路控制問(wèn)題轉化為H∞ 混合靈敏度問(wèn)題，運用混合靈敏度優(yōu)化設計出了一個(gè)滿(mǎn)足性能要求的控制器，并通過(guò)特殊的雙線(xiàn)性變換方法，解決了平臺穩定回路原系統對象模型有位于虛軸極點(diǎn)這一病態(tài)問(wèn)題。最后，通過(guò)仿真驗證了控制器的可行性。

1   液浮陀螺平臺穩定回路的原理

三軸慣性平臺具有三條伺服回路通道，其原理基本相同。當某一干擾力矩M f 作用在平臺臺體框架軸上時(shí)，平臺將相對慣性空間產(chǎn)生轉動(dòng)，液浮陀螺敏感到此偏轉角度后，輸入相應的調寬信號，經(jīng)過(guò)放大器放大后反饋到控制裝置，由控制裝置產(chǎn)生控制信號作用在穩定電機上，穩定電機產(chǎn)生相反方向的修正力矩，帶著(zhù)平臺向著(zhù)原來(lái)偏離的反方向運動(dòng)，使平臺與慣性空間的夾角逐漸減小到0，最終使平臺相對于慣性空間保持穩定。

2   平臺穩定回路建模

2.1 穩定回路的組成

一般穩定回路由慣性平臺、三環(huán)框架、安裝在平臺上的陀螺儀、力矩電機、坐標變換器和控制電路組成。具體組成如圖1 所示，其中M_d 為力矩電機扭轉力矩，M_f為穩定回路外部干擾力矩。圖1 由橫滾穩定回路和俯仰穩定回路組成，方位穩定回路沒(méi)有耦合放大器和伺服分解器兩個(gè)環(huán)節。

圖1 平臺穩定回路組成

2.2 穩定回路的數學(xué)模型

圖2 為方位穩定回路控制框圖，其中，θ ′ 為穩定回路輸入角度，θ 為陀螺輸出角，k1 為橋式功率放大系數，k2 為傳感器、前置放大、相敏解調和低通濾波放大系數、τ g 為陀螺時(shí)間常數、kg 為陀螺傳遞系數、τ e 為電機時(shí)間常數， J 為平臺轉動(dòng)慣量。不考慮校正裝置，穩定回路的開(kāi)環(huán)傳遞函數為

3   常規PID控制

PID 控制器是控制系統中最常使用的一種控制器，具有結構簡(jiǎn)單、調整方便、穩定性好及工作可靠等優(yōu)點(diǎn)。PID 控制主要依靠被控系統的輸出值與目標值之間的偏差和實(shí)際經(jīng)驗來(lái)實(shí)現系統的控制。平臺穩定回路通常采取雙閉環(huán)控制，即電流環(huán)PI 控制、位置環(huán)PID 控制，控制框圖如圖2 所示。

圖2 方位穩定回路雙閉環(huán)控制

3.1 電流環(huán)PI控制

電流環(huán)反饋能夠自動(dòng)調節力矩電機的驅動(dòng)電流，大大減小載體角運動(dòng)和干擾力矩引起的力矩電機輸出力矩波動(dòng)，從而提高系統性能。

未校正前電流環(huán)開(kāi)環(huán)傳遞函數為

采用PI 實(shí)現電流環(huán)控制，控制器的傳遞函數如下形式：

根據工程的實(shí)際情況，此處取電流環(huán)的開(kāi)環(huán)截止頻率為 1 800~2 000 rad / s，此時(shí)取電流環(huán)校正函數為

可得電流環(huán)閉環(huán)傳遞函數為

為計算方便，忽略分子、分母的高階系數項，將上式簡(jiǎn)化為一階環(huán)節，得到式：

加入校正環(huán)節后，電流環(huán)的開(kāi)環(huán)bode 圖如圖3所示。

控制后開(kāi)環(huán)系統的截止頻率為 1 910 rad / s，相位裕度為87.1°。

(a)控制后電流環(huán)bode圖

(b)電流環(huán)單位階躍響應

圖3 電流環(huán)的開(kāi)環(huán)bode圖

3.2 位置環(huán)PID控制

PID 控制采用比例- 積分- 微分控制的基本形式。本文位置環(huán)PID 校正整定采取臨界比例法。

對PID 控制穩定環(huán)回路輸入0.1 rad 的階躍信號和0.5 N·m 的干擾力矩，系統的響應曲線(xiàn)如圖4 所示。

從圖4 可以看出，采用常規PID 控制后，系統超調為18.5%，調節時(shí)間為0.12 s，當輸入常值干擾力矩后，穩定回路的最大動(dòng)態(tài)干擾誤差為0.014 9 rad，穩定誤差最終趨于0。

(a)階躍響應下陀螺輸出

(b)干擾力矩下陀螺輸出

圖4 系統響應的曲線(xiàn)圖

4   H_∞混合靈敏度設計問(wèn)題

控制混合靈敏度優(yōu)化目前運用廣泛的設計方法，它可以將系統的魯棒穩定性和性能要求轉化為H∞ 標準設計問(wèn)題，再采用DGKF 方法，通過(guò)求解一個(gè)或兩個(gè)Riccati 方程，求解出控制器。

混合靈敏度加權的控制結構如圖5 所示，其中r 為參考輸入、e 為跟蹤誤差、u 為控制輸入、d 為干擾輸入、y為系統輸出、G(s)為控制對象、W₁、W₂、W₃為權函數、K (s )為控制器。r對e、u、y的傳遞函數分別為

其中， S 和T 分別被稱(chēng)為靈敏度函數和補靈敏度函數，二者滿(mǎn)足：T (s) = I ? S (s)。靈敏度函數S (s)是決定跟蹤誤差大小的重要指標，S (s)增益越低，系統的跟蹤誤差越小，故系統響應的品質(zhì)指標越好；而補靈敏度函數T (s)是決定系統魯棒穩定性的重要指標，降低T (s)增益可以減小模型不確定性對系統的影響。但由于T (s) = I ? S (s)，不可能同時(shí)降低S和T的增益，通常干擾信號多為低頻信號，系統不確定性發(fā)生高頻，因此在選擇權函數上可以對二者進(jìn)行分頻段折衷。

圖5 混合靈敏度控制框圖

由圖5 所示，干擾d 到的傳遞函數分別為，混合靈敏度問(wèn)題的框架為

其中，增廣對象模型為

簡(jiǎn)單推導可得，

上式右端為目標函數的線(xiàn)性分式變換形式。因此，使系統內部穩定且滿(mǎn)足設計指標ψ ∞ <1的控制器K (s)的問(wèn)題，就可以歸結為求增廣被控對象G s H( )所對應的H_∞ 標準設計問(wèn)題，解K (s)的問(wèn)題。

在本文中，圖5中的G(s)即為力矩電機、平臺臺體、液浮陀螺三者組成的總被控對象，代入具體數值：

按照圖5 混合靈敏度控制結構，設給定信號為0，可將圖2 等效變換為H_∞標準控制結構，如圖6 所示。虛線(xiàn)框即為增廣對象，它包含原控制對象 G(s) W1 、W2 、W3 三個(gè)權函數。

圖5 方位穩定回路H_∞標準控制結構圖

5   混合靈敏度H_∞控制器的設計

5.1 權函數的選擇

應用混合靈敏度方法設計控制器時(shí)，加權陣的選取是重中之重，它決定了系統靈敏度函數和補靈敏度函數頻域特性的形狀，進(jìn)而直接決定了整個(gè)系統動(dòng)態(tài)、穩態(tài)性能及魯棒性的好壞。加權陣的選取需要遵循以下規則：

1）最終設計的控制器和廣義被控對象同階，因此在滿(mǎn)足設計要求的情況下，盡量降低加權陣的階次。

2）靈敏度函數S (s)決定了系統的跟蹤性能，它越小表明系統抑制擾動(dòng)能力越強，系統的跟蹤性能越好，

由于，因此截止頻率應在低頻段且滿(mǎn)足低通高增益。

3）為控制量限制權函數，為了不增加控制器階次通常選擇一常數。

4）為對象不確定性界函數，它決定了系統魯棒邊界，其幅頻特性包含所有未建模動(dòng)態(tài)，而未建模動(dòng)態(tài)往往呈高頻特性，因此其要求在低頻增益小，高頻增益大，并且其截止頻率需大于截止頻率。

根據以上規則，反復試湊，最終選定

和的幅頻曲線(xiàn)如圖6 所示。從圖中可以看出設計的權函數較好滿(mǎn)足了的高增益低通和的高通濾波特性。

圖6 權函數和的幅頻曲線(xiàn)

5.2 H∞控制器的設計

本文的控制對象傳遞函數存在虛軸上的極點(diǎn)，故在設計H_∞ 控制器的時(shí)候需先進(jìn)行雙線(xiàn)性變換將虛軸極點(diǎn)移位，待設計好后在將以為極點(diǎn)還原，最終運用MATLAB 魯棒控制工具箱中的hinfsyn 函數，得到的魯棒控制器的形式為：

圖 7(a)(b) 分別給出了描述系統靈敏度函數S(s)和權函數、補靈敏度函數T (s) 與權函數與頻率ω 關(guān)系的奇異值曲線(xiàn)。

圖7 奇異值曲線(xiàn)

WS 1 代表對系統跟蹤和干擾抑制性能的要求，應滿(mǎn)足這一必要條件，即從圖7(a) 中可以看出，所設計控制器滿(mǎn)足系統性能要求。W₃T代表對系統魯棒穩定性的要求，應滿(mǎn)足這一必要條件，即滿(mǎn)足從圖7(b) 中可以看出，從圖中可以看出補靈敏度函數在高頻段受到抑制，所設計的控制器滿(mǎn)足系統性能的要求。

圖8 H_∞控制下的系統開(kāi)環(huán)傳遞函數曲線(xiàn)

從圖8 中可以看出，系統的截止頻率ωc =149 rad / s，相位裕度為74.8°，滿(mǎn)足精度和魯棒穩定性要求。低頻段系統表現為-60 dB/dec，這說(shuō)明系統對階躍響應必為無(wú)靜差系統，具有很好的穩定性，并且由于系統低頻段有較高的分貝值，可以保證系統的穩態(tài)精度；中頻段以-20 dB/dec 穿過(guò)0 dB 線(xiàn)且具有一定的寬度，從相位裕度也可以看出系統有較好的平穩性；在高頻段系統表現為-60 dB/dec，這表明系統有較好的噪聲抑制能力。

(a)階躍響應下陀螺輸出

(b)干擾力矩下陀螺輸出

圖9 系統響應曲線(xiàn)

對H_∞控制穩定回路輸入0.1 rad的階躍信號和0.5 N·m 的干擾力矩，系統的響應曲線(xiàn)如圖9 所示。

從圖9 可以看出，采用H∞ 控制后，系統的超調量?jì)H為13.7%，調節時(shí)間僅為0.089 s，當輸入常值干擾力矩后，穩定回路的最

大動(dòng)態(tài)干擾誤差為0.013 7 rad， 穩態(tài)誤差趨于0。通過(guò)PID 控制和H_∞ 控制的對比，可以看出，系統的超調量超調量、調節時(shí)間和抗干擾能力都明顯得到了明顯改善。

6   結語(yǔ)

本文應用H_∞ 混合靈敏度控制策略對液浮陀螺穩定回路進(jìn)行控制，通過(guò)選擇合適的加權函數，使控制結果在跟蹤和抗擾方面都有了顯著(zhù)的提高，通過(guò)仿真，驗證了采用H_∞ 控制器的穩定回路較傳統PID 雙環(huán)控制器的穩定回路具有更好的跟蹤性能和抗擾性能，從而證實(shí)了此方法的有效性。

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（本文來(lái)源于《電子產(chǎn)品世界》雜志2021年1月期）