機器人控制系統運動(dòng)學(xué)方程

作者：時(shí)間：2013-03-12 來(lái)源：網(wǎng)絡(luò )

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現在，如果我們考察一小段f(x)的變化區間，我們可以將這個(gè)區間近似成線(xiàn)性關(guān)系，有如下等式：

上面的等式在基礎微積分學(xué)通常被稱(chēng)為斜率局部逼近，可以寫(xiě)成下面的形式：

如果前面的表達式再重寫(xiě)一次，我們可以得到以x變化量為參數的等式：

現在，讓我們將同樣的思想，應用到這個(gè)等式上?？紤]到我們有一個(gè)非線(xiàn)性函數g=I(k)，用于確定基于估計方位（k）和估計腳長(cháng)度（g）。從設備反饋，我們也知道腳的實(shí)際長(cháng)度（I）。我們的估值誤差就是e=g-l,，目標是如果估值誤差不符合要求就為方位（k*）從新確定一個(gè)估計值。然后重復使用上面的方法：

上面的等式看起來(lái)很熟悉，它基本上就是我們在之前的簡(jiǎn)單微積分例子中展示的方程。我們可以簡(jiǎn)單地再一次重寫(xiě)這個(gè)方程，以得到方位 (k*)的新估值表達式：

矩陣dI(k)/dk就是我們所說(shuō)的Jacobian矩陣。在將Jacobian矩陣應用于我們的上述等式之前必須先將其翻轉，對于六階矩陣就需要6×6求逆矩陣，這是一個(gè)復雜的數學(xué)推導。一旦姿態(tài)的新估計值計算出來(lái)，這個(gè)過(guò)程就可以再次重復，直到誤差(e = g – l) 小于某個(gè)可以接受的級別。

如果反向運動(dòng)方程已知，如下就是通用前向運動(dòng)方程的推導步驟：
1.估計平臺的初始姿態(tài)（k）。對于運動(dòng)控制器，這通常就是初始受控姿態(tài)。
2.基于估計值，計算腳長(cháng)度，使用反向運動(dòng)方程(g=I(k))。
3.通過(guò)將此腳長(cháng)度與從編碼器獲得的當前實(shí)際腳長(cháng)度進(jìn)行比較得到（e = g – l），如果誤差大小小于某個(gè)限制，此算法就將當前值收斂于k，并且跳到第6步，如果誤差超過(guò)此限制，繼續第4步。
4.使用反向Jacobian矩陣產(chǎn)生新的估計值 (k*=k-inv(dI(k)/dk)*e)。
5.用第4步的結果更新估計值。
6.從第2步重新開(kāi)始迭代。這個(gè)算法并不僅僅適用于六自由度系統，只要反向運動(dòng)方程已知，它就可以用于推導任何系統的前向方程（有收斂解的系統）。

總結

一個(gè)強壯的控制機器人系統的方法的關(guān)鍵就是運動(dòng)方程，這些方程不僅僅描述了系統的幾何結構，他們也使得具有足夠處理能力和速度的現代運動(dòng)控制器，能夠完成必要的計算，以提供對系統的平滑運動(dòng)控制。運動(dòng)方程通常在實(shí)時(shí)領(lǐng)域可以直接求解，然而，對于一些復雜系統，直接求解無(wú)法實(shí)現，可以采用一些算法，進(jìn)行求解。高性能的現代控制器提供了特定的結構，可以在控制系統內固化這些等式，為很多領(lǐng)域提供了開(kāi)發(fā)機器人系統的可能性。

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