機器人控制系統運動(dòng)學(xué)方程

作者：時(shí)間：2013-03-12 來(lái)源：網(wǎng)絡(luò )

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為了解此系統的反向運動(dòng)方程，必須確定平臺種類(lèi)以及執行器匯聚點(diǎn)的位置，因為腳長(cháng)就是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。平臺執行器所處位置用基點(diǎn)坐標系表示如下：

上述等式的下標表明了向量的參考坐標系。這里，點(diǎn)的位置實(shí)際上是齊次坐標，以(x, y, z, w) 或者 (x/w, y/w, z/w)的形式表述，為了簡(jiǎn)化討論，這里的w我們可以令其等于1。R是變換矩陣，可以將平臺點(diǎn)（Ppi）也就是平臺系數轉換成(Bpi)，也就是基座系數。R是3×4的矩陣，包括3×3的旋轉矩陣和3×1的平移矩陣。

在R等式中，“s”代表正弦函數；“c”代表余弦函數。上述等式中的旋轉矩陣是單位矩陣，用來(lái)變換roll、pitch和yaw三個(gè)向量的方向。平移矩陣就是一個(gè)簡(jiǎn)單的向量。由于（Bbi）的值是已知的，所以一旦知道了(Bpi)的值，就可以通過(guò)計算兩點(diǎn)的距離得到腳的長(cháng)度。

上面的等式實(shí)際上很簡(jiǎn)單，但是由于引入了矩陣理論，所以有很多項。下面是最終的反向運動(dòng)方程（對于腳“i”）。

此系統的前向運動(dòng)學(xué)方程相對復雜一些，由于處理上的要求，前向方程也不容易解。這里，比直接解方程更好的方法是使用迭代法，初始估計值代入方程、更新，然后重復，直到估計值的誤差小于某一限定值。具體的計算方法在此就不再贅述，此方法對于以下的過(guò)程都可以通用。此方法是前文提及的牛頓迭代法的推廣。關(guān)于此方法有很多相關(guān)文章，本文在此著(zhù)重討論前向運動(dòng)方程的應用。第一步是估計初始姿態(tài)K，或者換種說(shuō)法，估計(α , , γ, x, y, z)的值。對于一個(gè)運動(dòng)控制器，初始估計值通常是(α , , γ, x, y, z)的受控位置。從此估計值，反推運動(dòng)學(xué)方程，可以計算出執行器的長(cháng)度，稱(chēng)之為 (g1, g2, g3, g4, g5, g6) ，或者以向量的形式寫(xiě)成g.，數學(xué)表達式如下：g = I(k)。

然后，基于估計值算出的長(cháng)度與來(lái)自反饋設備的實(shí)際長(cháng)度I相比較，得到“估值誤差”e，可以寫(xiě)成e = g – l。

如果估值誤差小于某一個(gè)限定值，那么此過(guò)程就此結束。如果估值誤差不小于這個(gè)限定值，那么，就需要一個(gè)更好的估計值。這個(gè)過(guò)程一直重復，直到估計值足夠完美（此時(shí)，這個(gè)估計值就被作為方程的解?。榱死斫馊绾螐臄祵W(xué)上確定一個(gè)“更好的估計值”，首先考慮下面這個(gè)簡(jiǎn)單的微積分學(xué)例子。假設我們有一個(gè)通用函數y = f(x)，f是非線(xiàn)性的。如果我們要計算由x的變化所導致的y的變化，下面的等式有效：

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