機器人控制系統運動(dòng)學(xué)方程

作者：時(shí)間：2013-03-12 來(lái)源：網(wǎng)絡(luò )

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沿著(zhù)線(xiàn)段作移動(dòng)，我們希望在標準3D笛卡爾坐標系中工作。笛卡爾坐標系中的一個(gè)點(diǎn)由(x, y, z)表征，從直觀(guān)上說(shuō)，這個(gè)坐標系更便于進(jìn)行線(xiàn)段位移控制。例如，方形的運動(dòng)軌跡由4條線(xiàn)段組成，線(xiàn)段運動(dòng)就是笛卡爾坐標系中最基本的運動(dòng)模式。問(wèn)題轉化為：我們如何在這兩種坐標系統進(jìn)行轉換。答案是運動(dòng)方程。運動(dòng)方程可以將笛卡爾坐標系(x, y, z)與起重機球坐標系(r, θ, Φ)聯(lián)系在一起。

在進(jìn)一步探討之前，讓我們快速地判斷一下，為什么這些方程是必要的。如果用戶(hù)想要在笛卡爾坐標系下控制運動(dòng)路徑，他/她就需要確定一條由一系列(x, y, z) 坐標位置組成的軌跡。當使用運動(dòng)控制器時(shí)，對于很多種類(lèi)的運動(dòng)，明確地指明運動(dòng)軌跡是沒(méi)有必要的。運動(dòng)控制通常產(chǎn)生一個(gè)運動(dòng)輪廓（一系列(x, y, z)坐標位置）用于控制運動(dòng)，例如點(diǎn)到點(diǎn)運動(dòng)就意味著(zhù)笛卡爾坐標系下的直線(xiàn)運動(dòng)。如果我們知道受動(dòng)物體的目標(x, y, z)位置，然后就可以反推運動(dòng)方程，運動(dòng)控制器就可以計算出如何控制實(shí)際的起重機（包括起重臂長(cháng)度、傾斜角和回轉角——(r, θ, Φ)）

前向運動(dòng)方程更多地用于初次校準。他們可以用于測量反饋位置，并將 (r, θ, Φ) 結果轉換為用戶(hù)更加關(guān)心的(x, y, z)坐標。這個(gè)過(guò)程也可以用于確定安裝位置，和用于將任意位置的起重機坐標初始化為相對的(x, y, z)坐標。

由此可見(jiàn)運動(dòng)方程的必要性，現在就該討論如何解運動(dòng)方程了。先從反推運動(dòng)學(xué)方程開(kāi)始，我們希望得到起重機的(r, θ, Φ)坐標：

實(shí)際上依靠對球坐標系/笛卡爾坐標系的觀(guān)察就可以解這個(gè)等式，使用一些三角公式，可以得到如下等式：

觀(guān)察上面第三個(gè)等式，Φ是由關(guān)于r的等式表述的，而r又可由第一個(gè)等式中的(x, y, z)解出。前向運動(dòng)方程的形式類(lèi)似：

通過(guò)觀(guān)察，這幾個(gè)方程同樣可以輕松解出：

更復雜的例子——6自由度Stewart六腳平臺

Stewart六腳平臺在很多場(chǎng)合都有應用，包括自動(dòng)檢測、機器人手術(shù)、人造衛星和望遠鏡定位以及機械仿真等等。六腳包括6個(gè)獨立的受控執行器（長(cháng)度），在一端匯聚到一個(gè)固定的基座，另一端與一平面平臺連接，允許6個(gè)自由度，(α (roll), (pitch), γ (yaw), x, y, z)。幾何學(xué)實(shí)例如圖3所示。

圖3 Stewart六軸平臺在很多場(chǎng)合都有應用，包括自動(dòng)檢測、機器人手術(shù)、人造衛星和望遠鏡定位以及機械仿真等等。來(lái)源: ACS Motion Control

對于此系統，反推運動(dòng)學(xué)方程可以告訴我們：對于給定的(α, , γ, x, y, z)，可以知道執行器的長(cháng)度(l1, l2, l3, l4, l5, l6)是多少，還可以知道姿態(tài)（P）。前向方程用于計算姿態(tài)P，用執行器的腳長(cháng)度I表示。前向運動(dòng)方程是封閉的方程組，傳統計算方法是不可解的。但是，可以通過(guò)使用牛頓迭代法來(lái)解此前向方程，下文將作討論。

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