基于IEEE 754的浮點(diǎn)數存儲格式分析研究

0引言

IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，電子電氣工程師協(xié)會(huì )）在I985年制定的IEEE 754（IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic, ANSI/IEEE Std 754-1985 ）二進(jìn)制浮點(diǎn)運算規范，是浮點(diǎn)運算部件事實(shí)上的工業(yè)標準。許多計算機用戶(hù)有機會(huì )在Intel x86和SPARC 或Power PC機之間交換二進(jìn)制數據，所以對照Intel x86和SPARC結構計算機的數據表示及相關(guān)程序設計語(yǔ)言，討論IEEE 754浮點(diǎn)數存儲格式的細節是有意義的。

本文對浮點(diǎn)數、IEEE 754浮點(diǎn)數的表示方法、規格化處理等進(jìn)行了分析，重點(diǎn)分析、比較了Intel x86和SPARC結構計算機IEEE 754浮點(diǎn)數的存儲格式。

1 浮點(diǎn)數

在計算機系統的發(fā)展過(guò)程中，曾經(jīng)提出過(guò)多種方法表示實(shí)數，但是到目前為止使用最廣泛的是浮點(diǎn)表示法。相對于定點(diǎn)數而言，浮點(diǎn)數利用指數使小數點(diǎn)的位置可以根據需要而上下浮動(dòng)，從而可以靈活地表達更大范圍的實(shí)數。

浮點(diǎn)數表示法利用科學(xué)計數法來(lái)表達實(shí)數。通常，將浮點(diǎn)數表示為 ± d.dd…d ×βe，其中d.dd… d 稱(chēng)為有效數字（significand），它具有 p 個(gè)數字（稱(chēng)p位有效數字精度），β為基數（Base），e為指數（Exponent），±表示實(shí)數的正負[1,2]。更精確地，± d0.d１d２…dp－1 × βe， 表示以下數

±（d0＋d1β－1＋… ＋dp－1β－（p－1））βe，（0≤di＜β）。

對實(shí)數的浮點(diǎn)表示僅作如上的規定是不夠的，因為同一實(shí)數的浮點(diǎn)表示還不是唯一的。例如，1.0×102 ，0.1 ×103 ，和0.01 ×104 都可以表示100.0。為了達到表示單一性的目的，有必要對其作進(jìn)一步的規范。規定有效數字的最高位(即前導有效位)必須非零，即0＜d0＜β。符合該標準的數稱(chēng)為規格化數（Normalized Numbers），否則稱(chēng)為非規格化數(Denormalized Numbers)。

2 IEEE 754浮點(diǎn)數與其浮點(diǎn)格式 2.1 實(shí)數的IEEE 754表示形式

一個(gè)實(shí)數V在IEEE 754標準中可以用V＝(－1)s×M×2E 的形式表示[3,4]，說(shuō)明如下：

(1)符號s(sign)決定實(shí)數是正數(s＝0)還是負數(s＝1)，對數值0的符號位特殊處理。

(2)有效數字M（significand）是二進(jìn)制小數，M的取值范圍在1≤M＜2或0≤M＜1。

(3)指數E（exponent）是2的冪，它的作用是對浮點(diǎn)數加權。

2.2 浮點(diǎn)格式

浮點(diǎn)格式是一種數據結構，它規定了構成浮點(diǎn)數的各個(gè)字段，這些字段的布局，及其算術(shù)解釋[2]。IEEE 754浮點(diǎn)數的數據位被劃分為3個(gè)字段，對以上參數值進(jìn)行編碼：

(1)一個(gè)單獨的符號位s直接編碼符號s。

(2)k位的偏置指數e（e＝ek－1…e1e0）編碼指數E，移碼表示。

(3)n位的小數f(fraction)（f＝fn－1…f1f0）編碼有效數字M，原碼表示。

2.3 浮點(diǎn)數的分類(lèi)

根據偏置指數e的值，被編碼的浮點(diǎn)數可分成三種類(lèi)型。

(1)規格化數

當有效數字M在范圍1≤M＜2中且指數e的位模式ek－1…e1e0既不全是0也不全是1時(shí)，浮點(diǎn)格式所表示的數都屬于規格化數。這種情況中小數f（0≤f＜1 ) 的二進(jìn)制表示為0. fn－1…f1f0。有效數字M＝1＋f，即M＝1. fn－1…f1f0 (其中小數點(diǎn)左側的數值位稱(chēng)為前導有效位) 。我們總是能調整指數E，使得有效數字M在范圍1≤M＜2中，這樣有效數字的前導有效位總是1，因此該位不需顯示表示出來(lái)，只需通過(guò)指數隱式給出。

需要特別指出的是指數E要加上一個(gè)偏置值Bias，轉換成無(wú)符號的偏置指數e，也就是說(shuō)指數E要以移碼的形式在存放計算機中。且e、E和Bias三者的對應關(guān)系為e=E＋Bias，其中Bias=2k－1－1。

(2)非規格化數

當指數e的位模式ek－1…e1e0全為零（即e＝0）時(shí)，浮點(diǎn)格式所表示的數是非規格化數。這種情況下，E=1－Bais，有效數字M=f=0. fn－1…f1f0 ，有效數字的前導有效位為0。

非規格化數的引入有兩個(gè)目的。其一是它提供了一種表示數值0的方法，其二是它可用來(lái)表示那些非常接近于0.0的數。

(3)特殊數

當指數e的位模式ek－1…e1e0全為1時(shí)，小數f的位模式fn－1…f1f0全為0（即f=0）時(shí)，該浮點(diǎn)格式所表示的值表示無(wú)窮，s=0 時(shí)是＋∞，s=1時(shí)是－∞。

當指數e的位模式ek－1…e1e0全為1時(shí)，小數f的位模式fn－1…f1f0不為0（fn－1、…、f1、f0、至少有一個(gè)非零即f≠0）時(shí)，該浮點(diǎn)格式所表示的值被稱(chēng)為NaN（Not a Number）。比如當計算 或∞－∞時(shí)用作返回值，或者用于表示未初始化的數據。

3 IEEE 754浮點(diǎn)存儲格式

與浮點(diǎn)格式對應，浮點(diǎn)存儲格式規定了浮點(diǎn)格式在存儲器中如何存放。IEEE標準定義了這些浮點(diǎn)存儲格式，但具體選擇哪種存儲格式由實(shí)現工具（程序設計語(yǔ)言）決定。

匯編語(yǔ)言軟件有時(shí)取決于所使用的存儲格式，但更高級的語(yǔ)言通常僅處理浮點(diǎn)數據類(lèi)型的語(yǔ)言概念。這些浮點(diǎn)數據類(lèi)型在不同高級語(yǔ)言中有不同的名字，相應的IEEE格式如表1。

表1 IEEE 格式和語(yǔ)言類(lèi)型

IEEE 754標準準確地定義了單精度和雙精度浮點(diǎn)格式，并為這兩種基本格式的分別定義了擴展格式，表1里擴展雙精度格式是IEEE標準定義的擴展雙精度類(lèi)中的一種。

下面詳細討論在Intel x86和SPARC平臺上使用的三種IEEE浮點(diǎn)存儲格式。

3.1 單精度格式

IEEE單精度浮點(diǎn)格式共32位，包含三個(gè)構成字段：23位小數f，8位偏置指數e，1位符號s。將這些字段連續存放在一個(gè)32位字里，并對其進(jìn)行編碼。其中0:22位包含23位的小數f； 23:30位包含8位指數e；第31位包含符號s。如圖1所示。

圖1 單精度存儲格式