基于WLS-KF的GPS非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)濾波研究

摘要：為了提高動(dòng)態(tài)定位精度，將卡爾曼(KF)算法應用到GPS非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)定位解算中，提出加權最小二乘一卡爾曼濾波(WLS-KF)算法。通過(guò)加權最小二乘(WLS)算法得到近似的線(xiàn)性化模型，再將KF算法應用到這個(gè)線(xiàn)性化模型進(jìn)行校正。因此既保持了KF算法能夠對系統狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估算的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)對各個(gè)測量值進(jìn)行了聯(lián)系制約，具有更高的精度。結果表明，這種方法精度介于EKF和UKF之間，且實(shí)現容易，預測可靠，具有實(shí)際應用價(jià)值。
關(guān)鍵詞：全球定位系統；卡爾曼濾波；加權最小二乘；非線(xiàn)性

0 引言
卡爾曼濾波(KF)是一個(gè)不斷預測、修正的遞推過(guò)程，已經(jīng)越來(lái)越多地應用于動(dòng)態(tài)數據處理中。然而在KF模型中，要求觀(guān)測方程是線(xiàn)性形式、狀態(tài)噪聲和測量噪聲是白噪聲。為了解決這種矛盾，將KF理論應用到非線(xiàn)性領(lǐng)域中，擴展卡爾曼濾波(EKF)應用而生，它圍繞狀態(tài)估計值對非線(xiàn)性系統進(jìn)行一階Taylor展開(kāi)使其線(xiàn)性化，但它存在如下不足：一是當非線(xiàn)性函數Taylor展開(kāi)式的高階項無(wú)法忽略時(shí)，會(huì )產(chǎn)生較大的線(xiàn)性化誤差；二是EKF假定噪聲均為正態(tài)白噪聲，但是一個(gè)正態(tài)自噪聲經(jīng)過(guò)非線(xiàn)性變換后通常不再呈現正態(tài)性；三是只有在雅可比矩陣存在時(shí)才能線(xiàn)性化，而很多應用中雅可比矩陣很難求。針對這種情況，Julier和Uhlmann等人提出了一種基于非線(xiàn)性變換——Un-scented變換(UT)的卡爾曼濾波算法(UKF)。它通過(guò)確定性采樣得到的一組sigma點(diǎn)，可以獲得更多的觀(guān)測假設，對系統狀態(tài)的均值和協(xié)方差的估計更為準確，同時(shí)由于該算法采用了非線(xiàn)性的狀態(tài)方程和觀(guān)測方程，從而避免了線(xiàn)性化誤差。目前，EKF和UKF算法被廣泛應用于GPS非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)濾波研究中，并取得良好的定位效果。
本文給出了一種加權最小二乘一卡爾曼濾波(WLS-KF)算法，它利用一組離散采樣點(diǎn)，通過(guò)WLS方法產(chǎn)生近似線(xiàn)性化預測模型，然后用KF算法對此模型進(jìn)行校正。以該算法為思路，將其應用在GPS非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)濾波定位解算中，仿真結果表明該算法精度介于EKF和UKF之間，從而實(shí)現了對目標較高精度的定位和跟蹤。

1 算法描述
1．1 WLS算法
LS算法是現代測量技術(shù)中數據處理的基本工具，這種方法的特點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，在估計解算時(shí)，不需要知道與被估計量以及觀(guān)測量有關(guān)的任何統計信息。
設X為待估參數矢量，觀(guān)測矢量為L(cháng)。觀(guān)測方程為：

式中：v為觀(guān)測誤差。用泰勒定理展開(kāi)，得到線(xiàn)性化的觀(guān)測方程為：

式中：A是系數矩陣；f(X0)表示用先驗參數計算的理論觀(guān)測向量；b表示擬合后的殘差；△X是對先驗參數的小修正向量。
LS算法的指標是使各次觀(guān)測量與由參數估計得到的觀(guān)測量之差的平方和最小，即：

要使上式達到最小，當對觀(guān)測矢量的質(zhì)量有所了解時(shí)，設置各個(gè)測量值的權重，得到WLS算法的解為：

若更新后的Xk尚未達到求解精度，則Xk可作為第k+1次迭代的起始點(diǎn)，繼續進(jìn)行上述運算。