深入淺出的學(xué)習傅里葉變換

　　學(xué)習傅里葉變換需要面對大量的數學(xué)公式，數學(xué)功底較差的同學(xué)聽(tīng)到傅里葉變換就頭疼。事實(shí)上，許多數學(xué)功底好的數字信號處理專(zhuān)業(yè)的同學(xué)也不一定理解傅里葉變換的真實(shí)含義，不能做到學(xué)以致用!

　　事實(shí)上，傅里葉變換的相關(guān)運算已經(jīng)非常成熟，有現成函數可以調用。對于絕大部分只需用好傅里葉變換的同學(xué)，重要的不是去記那些枯燥的公式，而是解傅里葉變換的含義及意義。

　　本文試圖不用一個(gè)數學(xué)公式，采用較為通俗的語(yǔ)言深入淺出的闡述傅里葉變換的含義、意義及方法，希望大家可以更加親近傅里葉變換，用好傅里葉變換。

　　一偉大的傅里葉、偉大的爭議!

　　1807年，39歲的法國數學(xué)家傅里葉于法國科學(xué)學(xué)會(huì )上展示了一篇論文(此時(shí)不能算發(fā)表，該論文要到21年之后發(fā)表)，論文中有個(gè)在當時(shí)極具爭議的論斷：“任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線(xiàn)組合而成”。

　　這篇論文，引起了法國另外兩位著(zhù)名數學(xué)家拉普拉斯和拉格朗日的極度關(guān)注!

　　58歲的拉普拉斯贊成傅里葉的觀(guān)點(diǎn)。

　　71歲的拉格朗日(貌似現在的院士，不用退休)則反對，反對的理由是“正弦曲線(xiàn)無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號” 。屈服于朗格朗日的威望，該論文直到朗格朗日去世后的第15年才得以發(fā)表。

　　之后的科學(xué)家證明：傅里葉和拉格朗日都是對的!

　　有限數量的正弦曲線(xiàn)的確無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號，然而，無(wú)限數量的正弦曲線(xiàn)的組合從能量的角度可以非常無(wú)限逼近帶有棱角的信號。

　　二傅里葉變換的定義

　　后人將傅里葉的論斷進(jìn)行了擴展：滿(mǎn)足一定條件的函數可以表示成三角函數(正弦和/或余弦函數)或者它們的積分的線(xiàn)性組合。如何得到這個(gè)線(xiàn)性組合呢?這就需要傅里葉變換。

　　一定條件是什么呢?

　　這是數學(xué)家研究的問(wèn)題，對于大多數搞電參量測量的工程師而言，不必關(guān)注這個(gè)問(wèn)題，因為，電參量測量中遇到的周期信號，都滿(mǎn)足這個(gè)條件。

　　這樣，在電參量測量分析中，我們可以用更通俗的話(huà)來(lái)描述傅里葉變換：

　　任意周期信號可以分解為直流分量和一組不同幅值、頻率、相位的正弦波。分解的方法就是傅里葉變換。

　　并且，這些正弦波的頻率符合一個(gè)規律：是某個(gè)頻率的整數倍。這個(gè)頻率，就稱(chēng)為基波頻率，而其它頻率稱(chēng)為諧波頻率。如果諧波的頻率是基波頻率的N倍，就稱(chēng)為N次諧波。直流分量的頻率為零，是基波頻率的零倍，也可稱(chēng)零次諧波。

　　三傅里葉變換的意義

　　1為什么要進(jìn)行傅里葉變換呢?

　　傅里葉變換是描述信號的需要。

　　只要能反映信號的特征，描述方法越簡(jiǎn)單越好!

　　信號特征可以用特征值進(jìn)行量化。

　　所謂特征值，是指可以定量描述一個(gè)波形的某種特征的數值。全面描述一個(gè)波形，可能需要多個(gè)特征值。

　　比如說(shuō)：正弦波可以用幅值和頻率兩個(gè)特征值全面描述;方波可以用幅值、頻率和占空比三個(gè)特征值全面描述(單個(gè)周期信號不考慮相位)。

　　上述特征值，我們可以通過(guò)示波器觀(guān)測實(shí)時(shí)波形獲取，稱(chēng)為時(shí)域分析法。事實(shí)上，許多人都習慣于時(shí)域分析法，想要了解一個(gè)信號時(shí)，一定會(huì )說(shuō)：“讓我看看波形!”

　　可是，除了一些常見(jiàn)的規則信號，許多時(shí)候，給你波形看，你也看不明白!

　　復雜的不講，看看下面這個(gè)波形，能看出道道嗎?

　　我們能看到的僅僅是一個(gè)類(lèi)似正弦波的波形，其幅值在按照一定的規律變化。

　　如何記載這個(gè)波形的信息呢?尤其是量化的記載!

　　很難!

　　事實(shí)上，上述波形采用傅里葉變換后，就是一個(gè)50Hz的正弦波上疊加一個(gè)40Hz的正弦波，兩者幅度不同，40Hz的幅度越大，波動(dòng)幅度就越大，而波動(dòng)的頻率就是兩者的差頻10Hz(三相異步電動(dòng)機疊頻溫升試驗時(shí)的電流波形)。