深入淺出的學(xué)習傅里葉變換

　　再看一個(gè)看似簡(jiǎn)單的波形：

　　這個(gè)波形有點(diǎn)像正弦波，但是，比正弦波尖，俗稱(chēng)“尖頂波”，多見(jiàn)于變壓器空載電流輸入波形。

　　我們很難準確定量其與正弦波的區別。

　　采用傅里葉變換后，得到下述頻譜(幅值譜)：

　　主要包括3、5、7、9次諧波，一目了然!

　　傅里葉變換是一種信號分析方法，讓我們對信號的構成和特點(diǎn)進(jìn)行深入的、定量的研究。把信號通過(guò)頻譜的方式(包括幅值譜、相位譜和功率譜)進(jìn)行準確的、定量的描述。

　　這就是傅里葉變換的主要目的。

　　現在，我們知道傅里葉變換的目的了， 剩下的問(wèn)題是：

　　2為什么傅里葉變換要把信號分解為正弦波的組合，而不是方波或三角波?

　　其實(shí)，如果張三能夠證明， 任意信號可以分解為方波的組合，其分解的方法不妨稱(chēng)為張三變換;李四能夠證明，任意信號可以分解為三角波的組合，其分解的方法也可以稱(chēng)為李四變換。

　　傅里葉變換是一種信號分析的方法。既然是分析方法，其目的應該是把問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單，而不是變得更復雜。傅里葉選擇了正弦波，沒(méi)有選擇方波或其它波形，正好是其偉大之處!

　　正弦波有個(gè)其它任何波形(恒定的直流波形除外)所不具備的特點(diǎn)：正弦波輸入至任何線(xiàn)性系統，出來(lái)的還是正弦波，改變的僅僅是幅值和相位，即：正弦波輸入至線(xiàn)性系統，不會(huì )產(chǎn)生新的頻率成分(非線(xiàn)性系統如變頻器，就會(huì )產(chǎn)生新的頻率成分，稱(chēng)為諧波)。用單位幅值的不同頻率的正弦波輸入至某線(xiàn)性系統，記錄其輸出正弦波的幅值和頻率的關(guān)系，就得到該系統的幅頻特性，記錄輸出正弦波的相位和頻率的關(guān)系，就得到該系統的相頻特性。

　　線(xiàn)性系統是自動(dòng)控制研究的主要對象，線(xiàn)性系統具備一個(gè)特點(diǎn)，多個(gè)正弦波疊加后輸入至一個(gè)系統，輸出是所有正弦波獨立輸入時(shí)對應輸出的疊加。

　　也就是說(shuō)，我們只要研究正弦波的輸入輸出關(guān)系，就可以知道該系統對任意輸入信號的響應。

　　這就是傅里葉變換的最主要的意義!

　　四如何求傅里葉變換?

　　文章開(kāi)始就說(shuō)了，具體求傅里葉變換，有成熟的函數可供調用。本文只講述如何理解傅里葉變換的思想。如果你掌握了這個(gè)思想，不用再記公式，也不用去調用什么函數，自己編個(gè)簡(jiǎn)單程序就可實(shí)現。就算你不會(huì )編程，只要你學(xué)過(guò)三角函數，至少可以理解傅里葉變換的過(guò)程。

　　傅里葉的偉大之處不在于如何進(jìn)行傅里葉變換，而是在于給出了“任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線(xiàn)組合而成”這一偉大的論斷。

　　知道了這一論斷，只要知道正弦函數的基本特性，變換并不難，不要記公式，你也能實(shí)現傅里葉變換!

　　正弦函數有一個(gè)特點(diǎn)，叫做正交性，所謂正交性，是指任意兩個(gè)不同頻率的正弦波的乘積，在兩者的公共周期內的積分等于零。

　　這是一個(gè)非常有用的特性，我們可以利用這個(gè)特性設計一個(gè)如下的檢波器(下稱(chēng)檢波器A)：

　　檢波器A由一個(gè)乘法器和一個(gè)積分器構成，乘法器的一個(gè)輸入為已知頻率f的單位幅值正弦波(下稱(chēng)標準正弦信號f)，另一個(gè)輸入為待變換的信號。檢波器A的輸出只與待變換信號中的頻率為f的正弦分量的幅值和相位有關(guān)。

　　待變換信號可能包含頻率為f的分量(下稱(chēng)f分量)，也可能不包含f分量，總之，可能包含各種頻率分量。一句話(huà)，待變換信號是未知的，并且可能很復雜!

　　沒(méi)關(guān)系，我們先看看，待變換信號是否包含f分量。

　　因為其它頻率分量與標準正弦信號f的乘積的積分都等于零，檢波器A可以當它們不存在!經(jīng)過(guò)檢波器A，輸出就只剩下與f分量有關(guān)的一個(gè)量，這個(gè)量等于待變換信號中f分量與標準正弦信號f的乘積的積分。

　　很容易得到的結論是：

　　如果輸出不等于零，就說(shuō)明輸入信號包含f分量!

　　這個(gè)輸出是否就是f分量呢?

　　答案：不一定!

　　正弦波還有下述的特性：

　　相同頻率的正弦波，當相位差為90°時(shí)(正交)，在一個(gè)周期內的乘積的積分值等于零;當相位相同時(shí)，積分值達到最大，等于兩者的有效值的乘積，當相位相反時(shí)，積分值達到最小，等于兩者的有效值的乘積取反。

　　我們知道標準正弦信號f的初始相位為零，但是，我們不知道f分量的初始相位!如果f分量與標準正弦信號f的相位剛好差90°(或270°)，檢波器A輸出也等于零!為此，我們再設計一個(gè)檢波器B：

　　檢波器B與檢波器A的不同之處在于檢波器B用一個(gè)標準余弦信號f(與標準正弦信號A相位差90°)替代濾波器A中的標準正弦信號f。如果待變換信號中包含f分量，檢波器A和檢波器B至少有一個(gè)輸出不等于零。

　　利用三角函數的基礎知識可以證明，不論f分量的初始相位如何，檢波器A和檢波器B輸出信號的幅值的方和根就等于f分量的幅值;而檢波器B和檢波器A的幅值的比值等于f分量初始相位的正切，如此如此……即可求出f分量的相位。

　　我們再把標準正弦信號f和標準余弦信號f的頻率替換成我們關(guān)心的任意頻率，就可以得到輸入信號的各種頻率成分。如果知道輸入信號的頻率，把這個(gè)頻率作為基波頻率f0，用f0、2f0、3f0依次替代標準正弦信號f和標準余弦信號f的頻率，就可以得到輸入信號的基波、2次諧波和3次諧波。

　　這就是傅里葉變換!

　　什么?不會(huì )積分?

　　沒(méi)有關(guān)系，實(shí)際上，在諧波檢測儀、電能質(zhì)量分析儀等各類(lèi)電參量測量?jì)x器中，現在用的都是基于交流采樣的離散傅里葉變換，在離散信號處理中，累加就是積分!

　　傅里葉變換就是這么簡(jiǎn)單，您學(xué)會(huì )了嗎?