用頻率采樣法設計FIR濾波器

　　有限長(cháng)脈沖響應(FIR)數字濾波器由于設計靈活，濾波效果好以及過(guò)渡帶寬易控制，因此在數字信號處理領(lǐng)域得到了廣泛的應用。FIR數字濾波器的典型設計方法主要有窗函數法和頻率采樣法。正確理解和掌握這兩種設計方法是學(xué)習FIR數字濾波器的一個(gè)重要環(huán)節。用窗函數法進(jìn)行FIR濾波器設計的相關(guān)問(wèn)題，目前的教材講解較為細致，這里不再贅述。本文主要探討用頻率采樣法設計FIR數字濾波器的相關(guān)問(wèn)題，主要包括設計原理、性能分析、線(xiàn)性相位條件及設計中應注意的問(wèn)題等幾個(gè)方面。

　　1 設計原理及濾波器性能分析

　　頻率采樣法是從頻域出發(fā)，對給定的理想濾波器的頻響

進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，即

，然后以此Hd(k)作為實(shí)際FIR濾波器的頻率特性采樣值H(k)，即令：

　　由DFT定義，可以用這N個(gè)頻域的采樣值H(k)來(lái)惟一確定FIR的單位脈沖響應h(n)，即：

　　下面對設計出的濾波器頻率響應特性進(jìn)行分析。由頻域采樣定理中的內插公式可以知道，利用這N個(gè)頻域采樣值H(k)同樣可以求得FIR濾波器的頻率響應

，這個(gè)

將逼近理想濾波器的頻響

。

的內插公式為：

　　從式(5)可以看到，在各頻率采樣點(diǎn)上，設計的濾波器，實(shí)際的頻率響應嚴格地與理想濾波器的頻率響應數值相等，即

。但是在采樣點(diǎn)之間的頻率響應是由各采樣點(diǎn)的加權內插函數疊加而形成的，因而有一定的逼近誤差。該誤差大小取決于理想頻率響應的形狀，理想頻響特性變化越平緩，內插值越接近理想值，逼近誤差越小;反之，如果采樣點(diǎn)之間的理想頻響特性變化越陡，則內插值與理想值之間的誤差越大，因而在理想濾波器不連續點(diǎn)的兩邊，就會(huì )產(chǎn)生尖峰，而在通帶和阻帶就會(huì )產(chǎn)生波紋。用頻率采樣法設計的實(shí)際濾波器頻率響應如圖1所示。由圖1可知，實(shí)際濾波器的阻帶衰減取決于內插函數第一旁瓣幅度值的大小，其大小決定了所設計的濾波器的阻帶性能。

　　2 線(xiàn)性相位條件

　　FIR濾波器的最大優(yōu)點(diǎn)是嚴格的線(xiàn)性相位特性。下面討論為實(shí)現線(xiàn)性相位，在頻域內采樣得到的Hd(k)應滿(mǎn)足什么條件。FIR濾波器具有線(xiàn)性相位的條件是h(n)

是實(shí)序列，且滿(mǎn)足h(n)=±h(N-1-n)，即h(n)關(guān)于對稱(chēng)，其中N為濾波器的長(cháng)度。以第一類(lèi)線(xiàn)性相位條件h(n)=h(N-1-n)(偶對稱(chēng))為基礎來(lái)推導頻域采樣Hd(k)滿(mǎn)足的條件。

　　理想濾波器的頻率響應可以表示為：

　　為實(shí)現第一類(lèi)線(xiàn)性相位條件，相位函數θ(ω)和幅度函數Hg(ω)應分別滿(mǎn)足：

　　式(10)和式(11)就是頻率采樣值Hd(k)滿(mǎn)足第一類(lèi)線(xiàn)性相位的條件。關(guān)于第二類(lèi)線(xiàn)性相位的條件這里就不再推導，具體公式可參閱相關(guān)的教科書(shū)。

　　3 設計實(shí)例及性能分析

　　現以低通濾波器為例，說(shuō)明用頻率采樣法設計FIR線(xiàn)性濾波器的一般步驟及設計中應注意的問(wèn)題。要求截止頻率ωc=0.2π rad/s，采樣點(diǎn)數為N=20。設計步驟如下：

　　第一步：確定希望逼近的理想濾波器的頻率響應

　　第二步：在頻域內對

進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，利用頻率采樣設計公式求頻率采樣值Hd(k)，采樣間隔△ω=2π/N=O.1 π，這樣在通帶內共有3個(gè)采樣點(diǎn)，分別是k=0，1，2。利用頻率采樣設計式(10)和式(11)，可以得到：

　　第三步：用離散傅里葉逆變換求得要設計的實(shí)際濾波器的單位脈沖響應h(n)：