自動(dòng)控制系統的設計--基于根軌跡的串聯(lián)校正設計

（3）根據公式（6－34）確定夾角 γ：

得到：

（4）由設計要求， ， ， ，求出校正裝置的參數。

，

，

得到： ， 。因而超前校正裝置的傳遞函數：

（5）校正后閉環(huán)系統的傳遞函數和主導極點(diǎn)分別為：

G=G0*Gc

Transfer function:

576.8 s + 1921

------------------------------

s^4 + 34 s^3 + 256 s^2 + 384 s

Gl=feedback(G0＊Gc,1)

zpk(Gl)

Zero/pole/gain:

576.8 (s+3.33)

------------------------------------------

(s+25.25) (s+4.745) (s^2 + 4.006s + 16.03)

顯然，系統靜態(tài)誤差系數為： ，主導極點(diǎn)為： ，設計基本符合要求。

6.4.2 遲后校正
通過(guò)設置校正裝置的零極點(diǎn)，使之形成一對在S平面上靠近原點(diǎn)的偶極子，這樣，在基本保持原系統主導極點(diǎn)的前提下，可提高系統的靜態(tài)誤差系數而不致使系統的動(dòng)態(tài)性能變壞。

例如，對于一單位反饋系統，若其開(kāi)環(huán)傳遞函數：G0(S)=K/s(s+a)(s+b),則靜態(tài)速度誤差系數Kv=K/ab ，因為系統主導極點(diǎn)為Sd，則K=|Sd|·|Sd+a|·|Sd+b|。串聯(lián)遲后校正裝置后，開(kāi)環(huán)傳遞函數：

若要求主導極點(diǎn)基本不變，則

(6-35)

由于設計時(shí)選取的-1/τ和-1/βτ均靠近原點(diǎn)，因此

,

但此時(shí)

可見(jiàn)校正后靜態(tài)誤差系數增大了約β倍，而主導極點(diǎn)可基本保持不變。

由上，可得出遲后校正的根軌跡法步驟：

（１）畫(huà)出未校正開(kāi)環(huán)系統的根軌跡；

（２）根據系統設計的時(shí)域指標，確定主導極點(diǎn)Sd，進(jìn)而計算未校正系統的增益Ｋ及靜態(tài)誤差系數Kv ；

（３）將要求的靜態(tài)誤差系統與未校正系統的靜態(tài)誤差系數進(jìn)行比較；得出遲后校正裝置的β值；

（４）確定校正裝置的零點(diǎn)和極點(diǎn)。零點(diǎn)的確定方法是：以主導極點(diǎn)Sd為頂點(diǎn)，引線(xiàn)為起起始邊，向左旋轉5°-10° ，此邊與負實(shí)軸的交點(diǎn)即為校正裝置的零點(diǎn)-1/τ ，由（３）中β值進(jìn)而確定校正裝置極點(diǎn)-1/βτ。

（５）畫(huà)出校正后系統的根軌跡。若新的主導極點(diǎn)Sd1或靜態(tài)誤差系數與設計要求相關(guān)較大，則宜適當調整β或-1/υ ，直至滿(mǎn)足要求。

需要說(shuō)明的是，上述推導過(guò)程中按Kv 進(jìn)行說(shuō)明，但對于Kp或Ka結論相似。

例6－8 已知一單位反饋控制系統的開(kāi)環(huán)傳遞函數為

要求校正后的系統能滿(mǎn)足下列的性能指標：阻尼比ξ=0.5 ；調整時(shí)間ts=10s；靜態(tài)速度誤差系數Kv≥5/s。解：（１）繪制未校正系統的根軌跡如圖６—23中的虛線(xiàn)所示。

（２）根據給定的性能指標，確定系統的無(wú)阻尼自然頻率為

據此，求得希望的閉環(huán)主導極點(diǎn)

（３）由根軌跡的幅值條件，確定未校正系統在 處的增益，即根據 ，求得 ,,相應的靜態(tài)速度誤差系數為

（４）基于校正后的系統要求，據此算出遲后校正裝置的參數β值，即

考慮到遲后校正裝置在 點(diǎn)處產(chǎn)生遲后角的影響，所選取的β值應大于７.5，現取β＝１０。

（５）由點(diǎn) 作一條與線(xiàn)段Ｏ 成 角的直線(xiàn)，此直線(xiàn)與負實(shí)軸的交點(diǎn)就是校正裝置的零點(diǎn)，由圖６—23 可知，零點(diǎn) ，極點(diǎn)為 。這樣，校正裝置的傳遞函數

校正后系統的開(kāi)環(huán)傳遞函數

校正后系統的根軌跡如圖６—23中的實(shí)線(xiàn)所示。由該圖可見(jiàn)，若要使 ，則校正后系統主導極點(diǎn)的位置略偏離要求值，即由 點(diǎn)移到