自動(dòng)控制系統的設計--基于根軌跡的串聯(lián)校正設計

而對于△PcOSd有：

(6-31)

由上二式消去sinθ，并由式（6－29）可得：

(6-32)

根據三角函數性質(zhì)，上式可寫(xiě)成如下形式：

(6-33)

進(jìn)而有：

(6-34)

由于k可由穩態(tài)誤差系數確定，u由未校正傳遞函數求出，因此根據上式求出角γ。最后可用式（6－22）和式（6－23）確定校正裝置的零極點(diǎn)和具體參數。

通過(guò)上述分析可知，對于超前校正裝置的參數確定，可用三種方法進(jìn)行設計，其中第一法是工程經(jīng)驗方法，第二法則是從抑制高頻噪聲角度出發(fā)進(jìn)行設計，第三法則先在滿(mǎn)足靜態(tài)性能指標的條件下設計滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)性能指標的控制器。但必須指出，上述三法均用于對靜態(tài)性能要求不高而系統的動(dòng)態(tài)性能需要改善的控制系統，校正后的系統應滿(mǎn)足根軌跡的相角條件和幅值條件。若系統的靜態(tài)性能指標較高，可能無(wú)法設計合適的超前校正裝置，此時(shí)應采用遲后－超前校正裝置。

（三）根軌跡超前校正的步驟
綜上所述，用根據軌跡法進(jìn)行超前校正的一般步驟為：

１）根據對系統靜態(tài)性能指標和動(dòng)態(tài)性能指標的要求，分析確定希望的開(kāi)環(huán)增益k閉環(huán)主導極點(diǎn)Sd的位置．

２）畫(huà)出校正前系統的根軌跡，判斷希望的主導極點(diǎn)位于原系統的根軌跡左側，以確定是否應加超前校正裝置。

３）根據式（６—21）解出超前校正網(wǎng)絡(luò )在Sd點(diǎn)處應提供的相位超前角φ。

４）選擇前面介紹的三種方法之一，求γ，爾后用圖解法或根據式（６—22）和式（６—23）求得Gc(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，進(jìn)而求出校正裝置的參數。

５）畫(huà)出校正后系統的根軌跡，校核閉環(huán)主導極點(diǎn)是否符合設計要求。

６）若采用第一法和第二法，則還須根據根軌跡的幅值條件，確定校正后系統工作在 處的增益和靜態(tài)誤差系數。如果所求的靜態(tài)誤差系數與要求的值相差不大，則可通過(guò)適當調整Gc(s)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置來(lái)解決；如果所求的靜態(tài)誤差系數比要求的值小得多，則需考慮用別的校正方法，如用遲后—超前校正。

下面舉例分別介紹上述三法的使用，進(jìn)而對根軌跡超前校正步驟進(jìn)行說(shuō)明。

例6－5 已知一單位反饋控制系統的開(kāi)環(huán)傳遞函數為：

試設計一超前校正裝置，使校正后系統的無(wú)阻尼自然頻率 ，阻尼比 。

解：（１）這是一個(gè)積分環(huán)節和慣性環(huán)節串聯(lián)的系統，系統的無(wú)阻尼自然頻率 ，阻尼比 ，閉環(huán)極點(diǎn)為 以及靜態(tài)速度誤差系數 ，校正前系統的根軌跡如圖６—20虛線(xiàn)所示。

（２）由 和 ，求得希望的閉環(huán)極點(diǎn)為:

。

（３）計算超前校正裝置在 處需提供的相位超前角。由于未校正系統的 在 處的相角為：

為了使校正后系統的概軌跡能通過(guò)希望的極點(diǎn)，超前校正裝置必須在該點(diǎn)產(chǎn)生的超前角。

（4）根據根軌跡的相角條件，確定超前校正裝置的零點(diǎn)和極點(diǎn)。因為 ， ，所以 。按照最大α值的設計方法，可計算或作圖求出 ， 。這一校正裝置的傳遞函數 。于是求得由校正網(wǎng)絡(luò )和附加放大器組成的超前校正裝置的傳遞函數，并得到校正后系統的開(kāi)環(huán)傳遞函

數

式中，。由上式作出校正后系統的根軌跡，如圖6—20中的實(shí)線(xiàn)所示。

（5）確定系統工作在希望閉環(huán)極點(diǎn)處的增益和靜態(tài)速度誤差系數。由根軌跡的幅值條件

解得 。由于 ，因而 。系統對應的開(kāi)環(huán)傳遞函數為

由上式求得校正后系統