基于魯棒H ∞ 控制器的磁懸浮系統控制設計

　　李亞琦，秦?斌，王?欣?(湖南工業(yè)大學(xué)?電氣與信息工程學(xué)院，湖南?株洲?412008)

　　摘?要：研究了磁懸浮小球系統的控制問(wèn)題，為了解決傳統PID控制方法在磁懸浮小球控制過(guò)程中調節效果不理想，魯棒性較差，易受外界擾動(dòng)而失去穩定的問(wèn)題，采用了一種基于魯棒控制的方法來(lái)進(jìn)行系統的控制，魯棒控制算法能解決磁懸浮系統在外界干擾的情況下使系統保持預期的性能要求。將傳統PID控制與現代H _∞ 魯棒控制進(jìn)行仿真比較，通過(guò)仿真結果表明利用魯棒H ∞ 控制系統能夠提高磁懸浮系統的響應速度，降低系統超調量，較少外界干擾對系統的影響，更好地改善了磁懸浮系統的動(dòng)態(tài)性能。

　　關(guān)鍵詞：魯棒H _∞ 控制器設計；磁懸浮小球； PID；動(dòng)態(tài)性能

　　*文章部分由國家自然科學(xué)基金（61673166）和湖南省自然科學(xué)基金（2017JJ4022和2018JJ4070）資助。

　　0 引言

　　磁懸浮技術(shù)是一種先進(jìn)的技術(shù)，現如今磁懸浮技術(shù)在迅猛的發(fā)展。近幾年來(lái)，磁懸浮列車(chē)在我國交通運輸中占據了重要地位，很多種磁懸浮列車(chē)模型被提出^[1] 。與其他技術(shù)相比，磁懸浮技術(shù)量具有損耗低，成本低的特點(diǎn)，發(fā)展這項技術(shù)符合我國的可持續發(fā)展戰略^[2] 。磁懸浮系統是一種典型的非線(xiàn)性，開(kāi)環(huán)不穩定的系統。磁懸浮控制算法的研究已經(jīng)引起了技術(shù)界的關(guān)注。為了更好地研究磁懸浮系統，通過(guò)實(shí)驗室磁懸浮小球裝置來(lái)進(jìn)行研究。對于磁懸浮小球控制算法，傳統的有PID控制^[3] 、串級控制 ^[5] ，這些控制算法不能很好地滿(mǎn)足系統的動(dòng)態(tài)性能的需求。而現代控制算法中，魯棒控制算法 ^[4] 在一定程度上能夠很好地滿(mǎn)足系統的需求。

　　1 磁懸浮小球的工作原理及數學(xué)模型的建立

　　1.1 磁懸浮小球的工作原理

　　磁懸浮系統的組成主要包括五大部分：電磁鐵、位置傳感器、功率放大器、控制器以及被懸浮對象。系統組成部分如圖1所示：

　　磁懸浮系統主要是利用的電磁鐵來(lái)實(shí)現被懸浮對象在平衡位置的懸浮，位移傳感器主要是獲得鋼球的位置信號，該信號作為控制器的輸入信號經(jīng)過(guò)控制算法計算出相應的輸出控制信號，控制器輸出的控制信號經(jīng)過(guò)功率放大器轉變成控制電流，從而使鋼球在電磁場(chǎng)中獲得磁力來(lái)保證小球處于平衡狀態(tài)。

　　1.2 磁懸浮系統的數學(xué)模型

　　磁懸浮系統 ^[9] 中的電磁力主要是通過(guò)電磁鐵采用電流勵磁方式，再配合磁懸浮小球的導磁特性，在空間構成磁力線(xiàn)回路而產(chǎn)生的。

　　磁懸浮系統的電磁鐵磁路如圖2所示。

　　分析磁路，列出物理表達式：

　　其中

　　根據安培環(huán)路定理可得：

　　其中，N為線(xiàn)圈匝數； I 為線(xiàn)圈電流；X為氣隙間距；l _fe 為鐵芯回路的平均長(cháng)度：S(A)為鐵芯的截面積

　　根據式子(1)~(3)可以得到

　　根據磁場(chǎng)能量求出電磁力：

　　將非線(xiàn)性系統線(xiàn)性化，可以得到被懸浮對象的狀態(tài)空間數學(xué)模型：

　　2 磁懸浮系統的魯棒H ∞ 控制器的設計

　　2.1 設計原理

　　魯棒控制算法 ^[7-8,15] 是一種現代控制算法，是利用這種算法設計的控制器能夠使系統在外界干擾的情況下還能保持穩定性。在20世紀80年代初，Zames最先用語(yǔ)言描述了其的基本概念 ^[5] ，自此 H _∞ 控制器得到了迅速的發(fā)展。下文主要利用魯棒 H _∞ 控制方法來(lái)進(jìn)行磁懸浮系統控制器的設計。

　　本文進(jìn)行 H _∞ 控制器設計的時(shí)候，主要通過(guò)選擇合理的加權函數來(lái)進(jìn)行，選擇的加權函數需要滿(mǎn)足系統的動(dòng)態(tài)性能指標以及穩態(tài)性能指標。 H _∞ 加權靈敏度的選擇問(wèn)題可用圖3表示：

　　其中，r為參考輸入；e為誤差，u為控制輸入， y為輸出，y= [y_a y_b y_c ]^T，其中 W ₁、W₂、W₃ 是3個(gè)要設計的加權靈敏度函數。

　　定義3個(gè)傳遞函數：

　　其中， L=GF，F為魯棒控制器；G為磁懸浮系統的開(kāi)環(huán)傳遞函數；S為靈敏度。靈敏度越小意味著(zhù)磁懸浮系統的誤差e越??；令T=I-S，定義為補靈敏度，T的大小直接影響著(zhù)系統的穩定性。在進(jìn)行控制器設計的時(shí)候，主要是權衡T與S。

　　2.2具體的設計步驟

　　在進(jìn)行磁懸浮控制系統設計時(shí)，設計的核心是保證系統在增加控制器之后不僅能滿(mǎn)足系統的穩態(tài)性能，還能使函數P的無(wú)窮范數最小。

　　根據加權靈敏度函數的框圖(圖3)，得到 H ∞ 加權混合靈敏度 ^[11] 問(wèn)題的標準框架為：

　　其中u=Fe。

　　系統的增廣對象模型為

　　令：

　　進(jìn)行加權函數選擇時(shí)，需要滿(mǎn)足以下要求：

　　1）W ₁ 函數的選擇要求

　　也就是 W ₁ 要有低通濾波特性，根據磁懸浮實(shí)際的系統分析，系統干擾一般發(fā)生在低頻段，為了更好地保證系統魯棒性，要使S的增益加大，同時(shí)還要保證 W ₁ 的截止頻率 ω ₁ 小于 W ₃ 的截止頻率 ω ₃ 。

　　2）W ₂ 函數的選擇

　　在進(jìn)行 W ₂ 函數選擇的時(shí)候，主要是根據控制信號（加）的大小來(lái)進(jìn)行選擇的。

　　3）W ₃ 函數的選擇

　　W₃應該具有高通特性，也就是上升的速率要比較大，以此來(lái)實(shí)現系統的高頻抗干擾的特性。

　　在進(jìn)行加權函數設計的時(shí)候，一般滿(mǎn)足以下的形式：

　　根據上述要求，選擇加權函數為：

　　根據上述推導，通過(guò)MATLAB命令得到系統魯棒控制器的傳遞函數為：

　　魯棒控制器的脈沖傳遞函數為：（其中采樣時(shí)間T為0.0013s）

　　3 系統仿真

　　3.1 系統參數確定時(shí)的仿真

　　通過(guò)MATLAB/Simulink仿真模塊對系統進(jìn)行模型的建立與仿真。為了驗證魯棒控制器的優(yōu)越性，將其與傳統的PID控制 [12-13] 進(jìn)行對比，建立的模型如圖4所示：

　　注釋?zhuān)涸谶M(jìn)行PID參數選擇的時(shí)候，采用臨界比例度算法，首先令K _i = 0，K _d = 0，令K _P =1，不斷調節K _p，當K_u(k_p ) = ?0.586的時(shí)候，系統出現臨界等幅震蕩，臨界震蕩的周期 T = 0.1s 。再經(jīng)過(guò)微調得出PID控制器的3個(gè)參數。

　　仿真結果如圖5所示：

　　通過(guò)上PID以及魯棒控制器仿真結果的分析與計算，得到如表1所示的指標。

　　從表1可知：與傳統的控制器相比，應用魯棒控制器調節時(shí)間指標與超調量指標都優(yōu)于PID控制器。

　　為了更好地驗證魯棒控制系統的穩定性，改變系統參數磁懸浮小球的質(zhì)量來(lái)進(jìn)行系統的仿真與分析：

　　將磁懸浮小球的質(zhì)量由46g換為40g,則系統的狀態(tài)方程變?yōu)?

　　不改變PID參數以及魯棒控制器參數，得到仿真波形如圖6所示。

　　分析仿真圖形,得到PID與魯棒控制器的動(dòng)態(tài)如表2所示。

　　從表2分析：當參數發(fā)生變化的時(shí)候，魯棒控制器的動(dòng)態(tài)性能優(yōu)于PID控制器的動(dòng)態(tài)性能。

　　3.3系統外加干擾時(shí)

　　給系統在3s的時(shí)候外加一個(gè)階躍干擾信號，PID控制器與魯棒控制器的仿真波形如圖7所示。

　　根據圖7分析，當外加干擾的時(shí)候，魯棒控制器相對于PID控制器來(lái)講，能使系統在很短時(shí)間內恢復穩定。

　　4 結論

　　磁懸浮系統是一種強非線(xiàn)性，建模困難的一種系統，并且系統的運行容易受到外界環(huán)境的干擾。本文主要就這些問(wèn)題進(jìn)行了分析，對磁懸浮系統進(jìn)行建模，并且設計了一種 H ∞ 魯棒控制系統。實(shí)驗分析表明，當系統參數改變時(shí)，魯棒控制器比PID控制器動(dòng)態(tài)性能更好；當系統受到外界干擾時(shí)，魯棒控制器系統也能夠迅速地回到穩定值。

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　　作者簡(jiǎn)介：

　　李亞琦（1993—），女，碩士，研究方向：人工智能。

　　秦斌（1963—），男，博士，教授，研究方向：智能控制，過(guò)程控制。

　　王欣（1971—），女，博士，教授，復雜工業(yè)過(guò)程建模與優(yōu)化控制。

　　本文來(lái)源于科技期刊《電子產(chǎn)品世界》2019年第10期第37頁(yè)，歡迎您寫(xiě)論文時(shí)引用，并注明出處。