隨機過(guò)程在數據科學(xué)和深度學(xué)習中有哪些應用？

“The only simple truth is that there is nothing simple in this complex universe. Everything relates. Everything connects”— Johnny Rich, The Human Script

介紹

機器學(xué)習的主要應用之一是對隨機過(guò)程建模。機器學(xué)習中一些隨機過(guò)程的例子如下:

●泊松過(guò)程：用于處理等待時(shí)間以及隊列。

●隨機漫步和布朗運動(dòng)過(guò)程：用于交易算法。

●馬爾可夫決策過(guò)程：常用于計算生物學(xué)和強化學(xué)習。

●高斯過(guò)程：用于回歸和優(yōu)化問(wèn)題（如，超參數調優(yōu)和自動(dòng)機器學(xué)習）。

●自回歸和移動(dòng)平均過(guò)程：用于時(shí)間序列分析(如,ARIMA模型)。

在本文中，我將簡(jiǎn)要地向你介紹這些隨機過(guò)程。

歷史背景

隨機過(guò)程是我們日常生活的一部分。隨機過(guò)程之所以如此特殊，是因為隨機過(guò)程依賴(lài)于模型的初始條件。在上個(gè)世紀，許多數學(xué)家，如龐加萊，洛倫茲和圖靈都被這個(gè)話(huà)題所吸引。

如今，這種行為被稱(chēng)為確定性混沌，它與真正的隨機性有著(zhù)截然不同的范圍界限。

由于愛(ài)德華·諾頓·洛倫茲的貢獻，混沌系統的研究在1963年取得了突破性進(jìn)展。當時(shí)，洛倫茲正在研究如何改進(jìn)天氣預報。洛倫茲在他的分析中注意到，即使是大氣中的微小擾動(dòng)也能引起氣候變化。

洛倫茲用來(lái)描述這種狀態(tài)的一個(gè)著(zhù)名的短語(yǔ)是：

“A butterfly flapping its wings in Brazil can produce a tornado in Texas”

（在巴西，一只蝴蝶扇動(dòng)翅膀就能在德克薩斯州制造龍卷風(fēng)）

— Edward Norton Lorenz

（愛(ài)德華·諾頓·洛倫茲）

這就是為什么今天的混沌理論有時(shí)被稱(chēng)為“蝴蝶效應”。

分形學(xué)

一個(gè)簡(jiǎn)單的混沌系統的例子是分形（如圖所示）。分形是在不同尺度上不斷重復的一種模式。由于分形的縮放方式，分形不同于其他類(lèi)型的幾何圖形。

分形是遞歸驅動(dòng)系統，能夠捕獲混沌行為。在現實(shí)生活中，分形的例子有:樹(shù)、河、云、貝殼等。

圖1：MC. Escher，Smaller and Smaller^[1]

在藝術(shù)領(lǐng)域有很多自相似的圖形。毫無(wú)疑問(wèn)， MC. Escher是最著(zhù)名的藝術(shù)家之一，他的作品靈感來(lái)自數學(xué)。事實(shí)上，在他的畫(huà)中反復出現各種不可能的物體，如彭羅斯三角形和莫比烏斯帶。在"Smaller and Smaller"中，他也反復使用了自相似性（圖1）。除了蜥蜴的外環(huán)，畫(huà)中的內部圖案也是自相似性的。每重復一次，它就包含一個(gè)有一半尺度的復制圖案。

確定性和隨機性過(guò)程

有兩種主要的隨機過(guò)程：確定性和隨機性。

在確定性過(guò)程中，如果我們知道一系列事件的初始條件（起始點(diǎn)），我們就可以預測該序列的下一步。相反，在隨機過(guò)程中，如果我們知道初始條件，我們不能完全確定接下來(lái)的步驟是什么。這是因為這個(gè)過(guò)程可能會(huì )以許多不同的方式演化。

在確定性過(guò)程中，所有后續步驟的概率都為1。另一方面，隨機性隨機過(guò)程的情況則不然。

任何完全隨機的東西對我們都沒(méi)有任何用處，除非我們能識別出其中的模式。在隨機過(guò)程中，每個(gè)單獨的事件都是隨機的，盡管可以識別出連接這些事件的隱藏模式。這樣，我們的隨機過(guò)程就被揭開(kāi)了神秘的面紗，我們就能夠對未來(lái)的事件做出準確的預測。

為了用統計學(xué)的術(shù)語(yǔ)來(lái)描述隨機過(guò)程，我們可以給出以下定義：

●觀(guān)測值：一次試驗的結果。

●總體：所有可能的觀(guān)測值，可以記為一個(gè)試驗。

●樣本：從獨立試驗中收集的一組結果。

例如，拋一枚均勻硬幣是一個(gè)隨機過(guò)程，但由于大數定律，我們知道，如果進(jìn)行大量的試驗，我們將得到大約相同數量的正面和反面。

大數定律指出：

“隨著(zhù)樣本規模的增大，樣本的均值將更接近總體的均值或期望值。因此，當樣本容量趨于無(wú)窮時(shí)，樣本均值收斂于總體均值。重要的一點(diǎn)是樣本中的觀(guān)測必須是相互獨立的?！?/p>

--Jason Brownlee

隨機過(guò)程的例子有股票市場(chǎng)和醫學(xué)數據，如血壓和腦電圖分析。

泊松過(guò)程

泊松過(guò)程用于對一系列離散事件建模，在這些事件中，我們知道不同事件發(fā)生的平均時(shí)間，但我們不知道這些事件確切在何時(shí)發(fā)生。

如果一個(gè)隨機過(guò)程能夠滿(mǎn)足以下條件，則可以認為它屬于泊松過(guò)程：

●事件彼此獨立（如果一個(gè)事件發(fā)生，并不會(huì )影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率）。

●兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生。

●事件的平均發(fā)生比率是恒定的。

讓我們以停電為例。電力供應商可能會(huì )宣傳平均每10個(gè)月就會(huì )斷電一次，但我們不能準確地說(shuō)出下一次斷電的時(shí)間。例如，如果發(fā)生了嚴重問(wèn)題，可能會(huì )連續停電2-3天（如，讓公司需要對電源供應做一些調整），以便在接下來(lái)的兩天繼續使用。

因此，對于這種類(lèi)型的隨機過(guò)程，我們可以相當確定事件之間的平均時(shí)間，但它們是在隨機的間隔時(shí)間內發(fā)生的。

由泊松過(guò)程，我們可以得到一個(gè)泊松分布，它可以用來(lái)推導出不同事件發(fā)生之間的等待時(shí)間的概率，或者一個(gè)時(shí)間段內可能發(fā)生事件的數量。

泊松分布可以使用下面的公式來(lái)建模（圖2），其中k表示一個(gè)時(shí)期內可能發(fā)生的事件的預期數量。

圖2：泊松分布公式^[3]

一些可以使用泊松過(guò)程模擬的現象的例子是原子的放射性衰變和股票市場(chǎng)分析。

隨機漫步和布朗運動(dòng)過(guò)程

隨機漫步是可以在隨機方向上移動(dòng)的任意離散步的序列（長(cháng)度總是相同，圖3）。隨機漫步可以發(fā)生在任何維度空間中（如：1D，2D，nD）。

圖3：高維空間^[4]中的隨機漫步

現在我將用一維空間(數軸)向您介紹隨機漫步，這里解釋的這些概念也適用于更高維度。

我們假設我們在一個(gè)公園里，我們看到一只狗在尋找食物。它目前在數軸上的位置為0，它向左或向右移動(dòng)找到食物的概率相等（圖4）。

圖4：數軸^[5]

現在，如果我們想知道在N步之后狗的位置是多少，我們可以再次利用大數定律。利用這個(gè)定律，我們會(huì )發(fā)現當N趨于無(wú)窮時(shí)，我們的狗可能會(huì )回到它的起點(diǎn)。無(wú)論如何，此時(shí)這種情況并沒(méi)有多大用處。

因此，我們可以嘗試使用均方根（RMS）作為距離度量(首先對所有值求平方，然后計算它們的平均值，最后對結果求平方根)。這樣，所有的負數都變成正數，平均值不再等于零。

在這個(gè)例子中，使用RMS我們會(huì )發(fā)現，如果我們的狗走了100步，它平均會(huì )從原點(diǎn)移動(dòng)10步（√100=10）。

如前面所述，隨機漫步用于描述離散時(shí)間過(guò)程。相反，布朗運動(dòng)可以用來(lái)描述連續時(shí)間的隨機漫步。