設計開(kāi)關(guān)電源轉換器中電容陣列的數學(xué)方法

在便攜音樂(lè )播放器和筆記本/桌面計算機等消費電子設備中，通常會(huì )包含ASIC、處理器、存儲器和LED背光等器件。作為系統負載，這些器件需在合適的電壓下才能正常工作，所以人們通常使用能改變電壓的轉換器為這些器件供電。電壓轉換器通常使用開(kāi)關(guān)拓撲，電容器則在負載電流發(fā)生躍變時(shí)或在負載時(shí)變的情況下被用于解耦負載。

由于還沒(méi)有一種計算方法能計算出充分且必要的電容量，所以，系統設計者在設計用于降壓轉換器輸出端的電容陣列時(shí)，常常面臨很多困難：或許會(huì )選擇了較小的電容量，轉換器的電壓可能達不到要求進(jìn)而導致負載工作不穩定；或許選擇的電容量偏大，在元件成本和PCB面積方面造成浪費，進(jìn)而額外增加消費電子設備的單位成本。

降壓轉換器自身帶有電壓反饋系統。電壓反饋系統檢測負載上的電壓，然后，把檢測到的電壓與參考電壓進(jìn)行比較，將偏差放大并通過(guò)調整占空度來(lái)修正負載上的電壓(圖1)。

關(guān)于反饋環(huán)如何優(yōu)化的問(wèn)題屬于另一個(gè)話(huà)題，本文暫不作探討。借助電源芯片公司提供的高級仿真工具和計算工具，我們能很容易的實(shí)現降壓轉換器反饋系統的優(yōu)化。

許多系統設計者沒(méi)有弄清楚波特圖、頻域分析、暫態(tài)電壓波形、以及時(shí)域分析之間的差別。實(shí)際上，它們是在兩個(gè)域進(jìn)行的分析：一個(gè)在頻域，一個(gè)在時(shí)域。頻域分析和時(shí)域分析在數學(xué)上可以通過(guò)拉氏變換函數進(jìn)行轉換。

波特圖或頻域分析可以方便地以圖形方式顯示出給定系統的過(guò)零頻率(ZCF)和相位裕度，但很少能顯示轉換器在給定的階躍載荷電流下的運行情況。這些信息也許對滿(mǎn)足某些內部設計規則很有用。

圖1：降壓轉換器自身帶有電壓反饋系統。

為什么分析階躍響應如此重要呢？

處理器對電壓變化范圍的要求較為嚴格，電壓范圍由上限和下限給定，或由標稱(chēng)電壓和容差(如正負50mV)給定。而硬盤(pán)或PCI總線(xiàn)電壓軌對電壓的要求較為寬松，能在幾百毫伏的容差范圍內可靠地工作。如果給反饋系統施加階躍電流，則在反饋系統的輸出端會(huì )出現一個(gè)相應的響應(階躍響應)，本文中則是以輸出電壓為例。因而，如果把階躍電流或模擬負載電流施加到轉換器的輸出端，轉換器的輸出端將經(jīng)歷一個(gè)電壓變化過(guò)程。如果電壓變化過(guò)程的最小值和最大值保持在容限范圍之內，負載將正常工作。

可以用電阻和開(kāi)關(guān)FET產(chǎn)生階躍電流函數。我們需計算出電阻值和FET門(mén)的壓擺率(slew rate)，并使之與真實(shí)負載的幅度和邊緣速率相匹配。在使用電子負載時(shí)我們須非常小心，因為長(cháng)線(xiàn)纜或寄生電感可能使階躍電流變形，進(jìn)而導致在輸出端看不到階躍響應。當負載邊緣速率高時(shí)尤其應對這個(gè)問(wèn)題給予關(guān)注。

在平衡態(tài)，除了開(kāi)關(guān)紋波電流成分之外，開(kāi)關(guān)轉換器的電感電流和負載電流是匹配的。如果電感電流偏離負載所需要的電流，能量供求差異會(huì )導致輸出電容的電壓發(fā)生變化，此時(shí)輸出電容就會(huì )以充電/放電的形式吸收或補充能量，進(jìn)而保持輸出電流穩定。

圖2a和圖2b顯示了兩個(gè)負載躍變的暫態(tài)過(guò)程，分別對應于經(jīng)過(guò)優(yōu)化和未經(jīng)優(yōu)化的反饋環(huán)，前者能量供求差異被降到最小，而后者能量供求差異較大。陰影區域顯示在電感和負載之間的能量供求差異。

圖2a， 圖2b：兩個(gè)負載躍變的暫態(tài)過(guò)程。

在本文中，我們假設反饋環(huán)經(jīng)過(guò)了優(yōu)化設計，能量供求關(guān)系如圖3a所示。圖3b顯示在加載過(guò)程中由輸出電容補充的電流量，圖3c顯示了在卸載過(guò)程中輸出電容吸收的電流量。

圖3a, 圖3b, 圖3c：反饋環(huán)經(jīng)過(guò)了優(yōu)化設計后的能量供求關(guān)系。

對電感兩端的電壓積分并除以電感值可計算出流過(guò)電感的電流。在加載過(guò)程中，轉換器的占空比變成1。因而，如果把加載過(guò)程的起始時(shí)間設為t=0，則通過(guò)輸出電容所補充的電流(如圖3b)為：

在卸載過(guò)程中，轉換器的占空比變成0。因而，如果把卸載暫態(tài)過(guò)程的開(kāi)始時(shí)間設為t=0，則輸出電容吸收的電流(如圖3c)為：

其中，V(SUB/)in(/SUB)、V(SUB/)out(/SUB)、L分別是該降壓轉換器的輸入電壓、輸出電壓和電感值；I(SUB/)1(/SUB)是輕負載時(shí)的輸出電流電平，I(SUB/)2(/SUB)是重負載時(shí)的輸出電流電平。