單級倒立擺控制系統的穩定性算法設計

倒立擺是日常生活中許多重心在上、支點(diǎn)在下的控制問(wèn)題的抽象模型，本身是一種自然不穩定體，它在控制過(guò)程中能有效地反映控制中許多抽象而關(guān)鍵的問(wèn)題，如系統的非線(xiàn)性、可控性、魯棒性等問(wèn)題。對倒立擺系統的控制就是使小車(chē)以及擺桿盡快地達到預期的平衡位置，而且還要使它們不會(huì )有太強的振蕩幅度、速度以及角速度，當倒立擺系統達到期望位置后，系統能克服一定范圍的擾動(dòng)而保持平衡。作為一種控制裝置，它具有形象直觀(guān)、結構簡(jiǎn)單、便于模擬實(shí)現多種不同控制方法的特點(diǎn)，作為一個(gè)被控對象它是一個(gè)高階次、非線(xiàn)性、多變量、強耦合、不穩定的快速系統，只有采取行之有效的方法才能使它的穩定效果明了，因此對倒立擺的研究也成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。

　　1 一級倒立擺系統的數學(xué)模型

　　對于倒立擺系統來(lái)說(shuō)，如果忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線(xiàn)一級倒立擺系統抽象成沿著(zhù)光滑導軌運動(dòng)的小車(chē)和通過(guò)軸承連接的勻質(zhì)擺桿組成，如圖1所示。其中，小車(chē)的質(zhì)量M=1.32 kg，擺桿質(zhì)量m=0.07 kg，擺桿質(zhì)心到轉動(dòng)軸心距離l=0.2 m，擺桿與垂直向下方向的夾角為θ，小車(chē)滑動(dòng)摩擦系數，fc=0.1。

　　倒立擺控制系統數學(xué)模型的建立方法一般有利用牛頓力學(xué)的分析方法和分析力學(xué)中的拉格朗日方程建模兩種。本文采用的是拉格朗日方程建模。

　　一級倒立擺系統的拉格朗日方程應為：

　　式中：L是拉格朗日算子;V是系統動(dòng)能;G是系統勢能。

　　式中：D是系統耗散能;fi為系統在第i個(gè)廣義坐標上的外力。

　　一級倒立擺系統的總動(dòng)能為：

　　一級倒立擺系統有4個(gè)狀態(tài)變量，分別是

　　，根據式(7)寫(xiě)出系統狀態(tài)方程，并在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線(xiàn)性化處理，得到系統的狀態(tài)空間模型如下：

　　2 倒立擺性能分析

　　系統的能控性是控制器設計的前提，所以在設計前對系統進(jìn)行能控性分析，根據能控性矩陣T0=[B，AB，A2B，A3B]，利用Matlab中的rank命令，可以得出rank(T0)=4。由此可知，系統是完全可控的，因此可以對系統進(jìn)行控制器的設計，使系統穩定。

　　3 LQR控制器的設計

　　3.1 LQR控制器原理

　　線(xiàn)性二次型調節器的控制對象是線(xiàn)性系統，這個(gè)線(xiàn)性系統必須是狀態(tài)空間的形式，即：

　　，Y=Cx+Du。通過(guò)確定最佳控制量U*=R-1BTPX=-KX的矩陣K，使性能指標

　　的值極小。其中，加權矩陣Q和R是用來(lái)平衡狀態(tài)變量和輸入變量的權重;P是Riccati方程的解。這時(shí)求解Riccati代數方程：

　　就可獲得P值以及最優(yōu)反饋增益矩陣K值：

　　LQR用于單級擺的原理圖如圖2所示。

上一頁(yè) 1 2 下一頁(yè)