三維矢量散射積分方程中奇異性的分析及求解方法介紹

本文研究了電場(chǎng)積分方程(EFIE)中被積函數奇異性的處理方法，特別是三維矢量散射分析中出現的高階奇異性，給出了兩種解決積分方程奇異性的數值方法.一種方法是計算O(1/R)階奇異積分的奇異轉移法［1］.另一種方法是為解決O(1/R2)高階奇異積分的數值計算問(wèn)題的，它是通過(guò)排除一包含奇點(diǎn)的有限小塊，而這一小塊區域對積分的貢獻為零，從而使積分方程在整個(gè)積分域變得數值可積.
　　關(guān)鍵詞:三維矢量散射；電場(chǎng)積分方程；自阻抗；主值積分

Singularity Analysis of the Integral Equation for Three Dimension Vector Fields Scattering

WANG Hao-gang,NIE Zai-ping
(Dept.of Microwave Eng.,UEST of China,Chengdu 610054,China)

　　Abstract:In this paper,the singularity in the integrand of electrical field integral equation (EFIE) for 3-dimensional vector fields scattering is first analyzed.Two numerical methods for solving the singularity integral equation are developed.One method is the singularity transferring method for calculating integral value containing O(1/R) singularity in its integrand［1］.The other singularity is removed first and the integral contribution of this small area is proved to be zero.Thus,the integral on the whole integral area can be calculated properly by using numberical method.
　　Key words:3 dimension vector fields scattering;electrical field integral equation;self-impedance;principal integral

一、引　　言
　　隨著(zhù)計算技術(shù)的發(fā)展，數值方法在求解三維矢量散射問(wèn)題中的應用越來(lái)越廣泛.用矩量法求解三維矢量散射問(wèn)題的關(guān)鍵是精確求解阻抗矩陣的元素，特別是自阻抗元素.求解這些矩陣元素需要對場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的面積分.在自阻抗元素的求解中，將遇到場(chǎng)點(diǎn)與源點(diǎn)重合時(shí)產(chǎn)生奇異積分核的問(wèn)題.目前，國內外學(xué)者對此類(lèi)奇異積分的處理，盡管有一些研究，但不盡如人意.有的對其作近似處理［3］，降低了阻抗矩陣對角線(xiàn)元素的數值精確性，從而直接影響到電磁散射數值解的精度.對電場(chǎng)積分方程(EFIE)中被積函數奇異性(自阻抗元素的積分表示式中含有奇異性的來(lái)源)的分析可采用主值積分法，得到的電場(chǎng)積分方程是去除奇點(diǎn)的主值積分.由于在奇點(diǎn)附近，被積函數變化非常劇烈，所以不能對該主值積分使用一般的數值求積方法.但由于在主值積分中積分域不含奇點(diǎn)，被積函數是解析的，故可方便地對其進(jìn)行數值分析.本文結合參數幾何知識導出了對主值積分形式的電場(chǎng)積分方程進(jìn)行數值求積的兩種方法.其一是在奇異轉移方法［1］基礎上對電場(chǎng)積分方程中O(1/R)階奇異積分項進(jìn)行數值求積的具體方案.其二是對O(1/R2)高階奇異積分項的處理，這種方法是去除奇點(diǎn)附近被積函數變化劇烈的一有限小塊區域，然后證明了在這一小塊區域內的積分為零，從而使積分變得數值可積，較圓滿(mǎn)地解決了電場(chǎng)積分方程數值求解問(wèn)題.運用本文方法對導體球及兩端開(kāi)口薄壁圓柱和正方形平板的RCS進(jìn)行了數值計算，獲得了滿(mǎn)意的結果.

二、積分的奇異性及三維EFIE的主值積分
　　三維導體矢量散射的電場(chǎng)積分方程(EFIE)可表示為：

　(1)

選擇適當的局域電流基函數{jp(r′)}來(lái)表示金屬散射體表面電流J(r′)，得：

　(2)

再選擇適當的權函數{tq(r)}，從而把式(1)離散成矩陣方程：

　(3)

　　其中,Fq為激勵項，ap為響應項，Aqp則為阻抗元素項.在參數空間中，阻抗元素的積分表達式為：

　(4)

式中，sq和sp分別表示對場(chǎng)點(diǎn)和對源點(diǎn)的積分域；u1和u2與u′1和u′2分別為參數空是中場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的坐標；r/ui和r′/ui(i=1,2)為實(shí)空間中物體表面上的r和r′點(diǎn)的切向矢量;g=det(gij),(i,j=1,2)，gij=r/ui.r/uj,(i,j=1,2)為曲面s的第一類(lèi)基本量［4］.
　　參數空間中，基函數選擇屋頂函數(rooftop functions):

　(5)
　(6)

式(5)、(6)中i=1時(shí)，j=2;i=2時(shí)，j=1，而且

　(7)

　(8)

　　當sself=sq∩sp≠φ時(shí)，Aqp被稱(chēng)作自阻抗元素，此時(shí)場(chǎng)點(diǎn)積分域與源點(diǎn)積分域部分或完全重合.當r′→r時(shí)，R→0，從式(4)可以看出，被積函數發(fā)散.在經(jīng)典函數論中，該積分無(wú)意義.這對數值求解帶來(lái)巨大的困難.
　　然而，在實(shí)際上電流產(chǎn)生的場(chǎng)總是有限和唯一的.對此，采用奇異積分的主值積分法［5］分析電場(chǎng)積分方程.式(1)可寫(xiě)成：

　(9)

式中，電場(chǎng)積分方程被分為兩項.第一項為不含場(chǎng)點(diǎn)(奇點(diǎn))的主值積分.第二項為含場(chǎng)點(diǎn)的分離面積元積分.由于主值積分不含有奇點(diǎn)，故可用通常的數值方法計算.下面討論第二項對整個(gè)積分方程的貢獻.可以證明［6］不論Δs形狀如何，當Δs→0時(shí)，Δs自身散射場(chǎng)Esself與場(chǎng)點(diǎn)處總場(chǎng)E(r)有以下關(guān)系：

　(10)

　　由于在理想導體表面上電場(chǎng)與表面垂直，所以式(9)第二項為零，即：

　(11)