四點(diǎn)二次插值的單片機匯編程序實(shí)現

    在微機化的儀器儀表控制軟件中，特別是快速控制軟件中，或因直接計算過(guò)于復雜，或因只有經(jīng)驗數據沒(méi)有理論公式，常采用查表插值法計算某些數據。

    一般適合于插值法的函數是光滑性較好的函數。所謂“光滑性較好”是指以下兩個(gè)方面：

    ◆連續且盡量高階地可導：

    ◆其泰勒展開(kāi)式中高次項的絕對值較小。

    采用多項式插值時(shí)，若提高多項式次數，除了增加計算量(在高速實(shí)時(shí)控制的程序中，計算速度是很重要的問(wèn)題)外，從數學(xué)上看還有若干缺點(diǎn)，故實(shí)際應用中一般不用太高的次數。拋物線(xiàn)插值(三點(diǎn)二次插值)是常用的一種。

    提高精度的另一途徑是增加節點(diǎn)密度。對于三點(diǎn)二次插值，節點(diǎn)密度若能提高二倍，則截斷誤差大約可以縮小到原來(lái)的1／8。但是這樣一來(lái)數據表的容量也要加大二倍，因此在容量和精度間存在著(zhù)矛盾。

    本文介紹一種“四點(diǎn)二次插值”算法，與普通三點(diǎn)=次插值相比，節點(diǎn)密度不變，計算量也差不多，但精度(最大誤差限)大致相當于節點(diǎn)密度提高二倍的效果。

    四點(diǎn)二次插值的思想是：計算(xk,xk+1)區間的插值時(shí)，用(xk-1,xk,)的三點(diǎn)二次插值結果和(xk,xk+1)的三點(diǎn)二次插值結果相平均，作為最后結果。若采用等距節點(diǎn)，間距為h，根據這個(gè)思想，不難推出以下計算公式：

    與普通的三點(diǎn)二次插值法對比，可以看出計算量差不多(乘法次數相同，除以4可以用移位實(shí)現)。

    下面粗略分析其精度。

    二次插值誤差余項應有三個(gè)零點(diǎn)，此法中xk和k+1是其兩個(gè)零點(diǎn)。顯然，如果第三個(gè)零點(diǎn)在x1和xk+1的中點(diǎn)處，則其精度和節點(diǎn)密度提高二倍后的三點(diǎn)二次插值法相同。

    設(xk-1,xk，xk+1)的三點(diǎn)二次插值誤差余項為R1(x)，(xk,xk+1xk+2)的三點(diǎn)二次插值誤差余項為R2(x)則四點(diǎn)二次插值的誤差余項為

    系數K(ξ1′,ξ2)反映中點(diǎn)xm處四點(diǎn)二次插值的誤差，比原來(lái)三點(diǎn)二次插值的誤差減小的程度。若f'''(x)是常數，則k(ξ1，ξ2)=0，因而R(xm)=0。也就是說(shuō)，R(z)第三個(gè)零點(diǎn)在xm處，達到上文所述的效果。

    對于比較光滑的函數，f'''(x)在小區間內不會(huì )變化太大，故k(ξ1,ξ2)式中的分子絕對值應較小。若K(ξ1，ξ2)近于0，則R(xm)也近于0，R(x)的零點(diǎn)仍在xm附近，效果與上述接近?？梢宰C明(限于篇幅．證明略)，只要f'''(ξ1)與f'''(ξ)之比在O.5～2之間，則第三個(gè)零點(diǎn)必然在xk和xk+1之間。

    若K(ξ1,)絕對值較大即f'''(ξ2)與f'''(ξ2)之比距1較遠)，或，f'''(ξ1)與，f…(ξ2)反號，則零點(diǎn)不在中點(diǎn)附近，此時(shí)精度并沒(méi)有明顯提高，但不會(huì )比原來(lái)的情況差。這必然是K(ξ1,ξ2)式中的分母絕對值太小，也就是說(shuō)，是處在，f'''(x)過(guò)零或近于零的區域。

    對于較光滑的函數，原三點(diǎn)二次插值法的截斷誤差大致正比于其三階導數，因此三階導數較大的區域也是精度最差的區域。f'''(x)過(guò)零或近于零的區域中，誤差本來(lái)就遠小于其它區域。綜上所述，四點(diǎn)二次插值法與之相比，在三階導數較大的區域，精度大致改進(jìn)到相當于節點(diǎn)密度提高二倍后的三點(diǎn)二次插值法；在三階導數近于0的區域，則不會(huì )比原來(lái)三點(diǎn)二次插值法差。從實(shí)用的角度，可以說(shuō)已經(jīng)實(shí)現了上文所說(shuō)的效果。

    另外，還可以指出，這個(gè)算法中的v1、v2都是由數據表中相鄰項的差值產(chǎn)生的，絕對值常常較小，故乘法?？梢圆捎玫途瘸?。這一點(diǎn)在以較低檔的微處理器構成的應用系統中是有實(shí)際意義的。如下面AVR單片機的程序中，結果是雙字節精度，但其中乘法為單字節。

    下面將給出以MCS-96單片機匯編語(yǔ)言和AVR單片機匯編語(yǔ)言編寫(xiě)的程序實(shí)例。

    實(shí)例中，取間隔h為2的整數冪。這樣，定點(diǎn)形式的自變量只要采用簡(jiǎn)單的移位，即可以得出整數的k和純小數的“，作為下列程序的入口參數。在MCS一96單片機的程序中，k和u均取雙字節；在A(yíng)VR單片機的程序例中，k和u均取單字節，但結果為雙字節。

    這是一個(gè)應用程序中用來(lái)查幾種數據表的子程序。因為這些表都是增函數，故下面設計中認定“[v2