傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換最全攻略

　　傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯(lián)系?他們的本質(zhì)和區別是什么?為什么要進(jìn)行這些變換。研究的都是什么?從幾方面討論下。

　　這三種變換都非常重要!任何理工學(xué)科都不可避免需要這些變換。

　　傅立葉變換，拉普拉斯變換，Z變換的意義

　　【傅里葉變換】在物理學(xué)、數論、組合數學(xué)、信號處理、概率論、統計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結構動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著(zhù)廣泛的應用(例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量)。

　　傅里葉變換能將滿(mǎn)足一定條件的某個(gè)函數表示成三角函數(正弦和/或余弦函數)或者它們的積分的線(xiàn)性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。

　　傅里葉變換是一種解決問(wèn)題的方法，一種工具，一種看待問(wèn)題的角度。理解的關(guān)鍵是：一個(gè)連續的信號可以看作是一個(gè)個(gè)小信號的疊加，從時(shí)域疊加與從頻域疊加都可以組成原來(lái)的信號，將信號這么分解后有助于處理。

　　我們原來(lái)對一個(gè)信號其實(shí)是從時(shí)間的角度去理解的，不知不覺(jué)中，其實(shí)是按照時(shí)間把信號進(jìn)行分割，每一部分只是一個(gè)時(shí)間點(diǎn)對應一個(gè)信號值，一個(gè)信號是一組這樣 的分量的疊加。傅里葉變換后，其實(shí)還是個(gè)疊加問(wèn)題，只不過(guò)是從頻率的角度去疊加，只不過(guò)每個(gè)小信號是一個(gè)時(shí)間域上覆蓋整個(gè)區間的信號，但他確有固定的周 期，或者說(shuō)，給了一個(gè)周期，我們就能畫(huà)出一個(gè)整個(gè)區間上的分信號，那么給定一組周期值(或頻率值)，我們就可以畫(huà)出其對應的曲線(xiàn)，就像給出時(shí)域上每一點(diǎn)的 信號值一樣，不過(guò)如果信號是周期的話(huà) ，頻域的更簡(jiǎn)單，只需要幾個(gè)甚至一個(gè)就可以了，時(shí)域則需要整個(gè)時(shí)間軸上每一點(diǎn)都映射出一個(gè)函數值。

　　傅里葉變換就是將一個(gè)信號的時(shí)域表示形式映射到一個(gè)頻域表示形式;逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個(gè)信號的不同表示形式。它的公式會(huì )用就可以，當然把證明看懂了更好。

　　對一個(gè)信號做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個(gè)方面。幅度是表示這個(gè)頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義?頻域的相位與時(shí)域的相位有關(guān)系嗎?信號前一段的相位(頻域)與后一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關(guān)系。

　　傅里葉變換就是把一個(gè)信號，分解成無(wú)數的正弦波(或者余弦波)信號。也就是說(shuō)，用無(wú)數的正弦波采用傳遞函數代替微分方程來(lái)描述系統的特性。這就為采用直觀(guān)和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統的整個(gè)特性(見(jiàn)信號流程 圖、動(dòng)態(tài)結構圖)、分析控制系統的運動(dòng)過(guò)程(見(jiàn)奈奎斯特穩定判據、根軌跡法)，以及綜合控制系統的校正裝置(見(jiàn)控制系統校正方法)提供了可能性。

　　【拉普拉斯變換】工程數學(xué)中常用的一種積分變換。它是為簡(jiǎn)化計算而建立的實(shí)變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個(gè)實(shí)變量函數作拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數域中的相應結果，往往比直接在實(shí)數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線(xiàn)性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來(lái)處理，從而使計算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。

　　拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應用：應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問(wèn)題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號從時(shí)域上，轉換為復頻域(s域)上來(lái)表示;在線(xiàn)性系統，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應用。

　　【Z變換】在數字信號處理中，Z變換是一種非常重要的分析工具。但在通常的應用中，我們往往只需要分析信號或系統的頻率響應，也即是說(shuō)通常只需要進(jìn)行傅里葉變換即可。

　　那么，為什么還要引進(jìn)Z變換呢?

　　【三者關(guān)系】

　　Z變換和傅里葉變換之間有存在什么樣的關(guān)系呢?傅里葉變換的物理意義非常清晰：將通常在時(shí)域表示的信號，分解為多個(gè)正弦信號的疊加。每個(gè)正弦信號用幅度、 頻率、相位就可以完全表征。傅里葉變換之后的信號通常稱(chēng)為頻譜，頻譜包括幅度譜和相位譜，分別表示幅度隨頻率的分布及相位隨頻率的分布。在自然界，頻率是 有明確的物理意義的，比如說(shuō)聲音信號，男同胞聲音低沉雄渾，這主要是因為男聲中低頻分量更多;女同胞多高亢清脆，這主要是因為女聲中高頻分量更多。對一個(gè) 信號來(lái)說(shuō)，就包含的信息量來(lái)講，時(shí)域信號及其相應的傅里葉變換之后的信號是完全一樣的。那傅里葉變換有什么作用呢?因為有的信號主要在時(shí)域表現其特性，如 電容充放電的過(guò)程;而有的信號則主要在頻域表現其特性，如機械的振動(dòng)，人類(lèi)的語(yǔ)音等。若信號的特征主要在頻域表示的話(huà)，則相應的時(shí)域信號看起來(lái)可能雜亂無(wú) 章，但在頻域則解讀非常方便。在實(shí)際中，當我們采集到一段信號之后，在沒(méi)有任何先驗信息的情況下，直覺(jué)是試圖在時(shí)域能發(fā)現一些特征，如果在時(shí)域無(wú)所發(fā)現的 話(huà)，很自然地將信號轉換到頻域再看看能有什么特征。信號的時(shí)域描述與頻域描述，就像一枚硬幣的兩面，看起來(lái)雖然有所不同，但實(shí)際上都是同一個(gè)東西。正因為 如此，在通常的信號與系統的分析過(guò)程中，我們非常關(guān)心傅里葉變換。

　　既然人們只關(guān)心信號的頻域表示，那么Z變換又是怎么回事呢?要說(shuō)到Z變換，可能還要先追溯到拉普拉斯變換。

　　拉普拉斯變換是以法國數學(xué)家拉普拉斯命名的一種 變換方法，主要是針對連續信號的分析。拉普拉斯和傅里葉都是同時(shí)代的人，他們所處的時(shí)代在法國是處于拿破侖時(shí)代，國力鼎盛。在科學(xué)上也取代英國成為當時(shí)世 界的中心，在當時(shí)眾多的科學(xué)大師中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里葉就是他們中間最為璀璨的三顆星。傅里葉關(guān)于信號可以分解為正弦信號疊加的論文，其評審人即 包括拉普拉斯和拉格朗日。

　　回到正題，傅里葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個(gè)最大的問(wèn)題是其存在的條件比較苛刻，比如時(shí)域內絕對可積的信號才可能存在傅里葉變換。拉普拉斯 變換可以說(shuō)是推廣了這以概念。在自然界，指數信號exp(-x)是衰減最快的信號之一，對信號乘上指數信號之后，很容易滿(mǎn)足絕對可積的條件。因此將原始信 號乘上指數信號之后一般都能滿(mǎn)足傅里葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯變換。這種變換能將微分方程轉化為代數方程，在18世紀計算機還遠未發(fā)明的時(shí)候， 意義非常重大。從上面的分析可以看出，傅里葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數信號為exp(0)。也即是說(shuō)拉普拉斯變換是傅里葉變換 的推廣，是一種更普遍的表達形式。在進(jìn)行信號與系統的分析過(guò)程中，可以先得到拉普拉斯變換這種更普遍的結果，然后再得到傅里葉變換這種特殊的結果。這種由 普遍到特殊的解決辦法，已經(jīng)證明在連續信號與系統的分析中能夠帶來(lái)很大的方便。

　　Z變換可以說(shuō)是針對離散信號和系統的拉普拉斯變換，由此我們就很容易理解Z變換的重要性，也很容易理解Z變換和傅里葉變換之間的關(guān)系。Z變換中的Z平面與 拉普拉斯中的S平面存在映射的關(guān)系，z=exp(Ts)。在Z變換中，單位圓上的結果即對應離散時(shí)間傅里葉變換的結果。