圖像處理中的數學(xué)原理詳解（Part8）——傅立葉變換的來(lái)龍去脈

　　千呼萬(wàn)喚始出來(lái)，我們前面已經(jīng)做了很多很多的準備，終于可以揭開(kāi)傅立葉變換的面紗了。當然，在閱讀這篇文章之前，請務(wù)必保證你已經(jīng)掌握了傅立葉級數的所有內容，可以參看

　　圖像處理中的數學(xué)原理詳解(Part4) ——傅立葉級數的概念1

　　http://dyxdggzs.com/article/201703/344947.htm

　　圖像處理中的數學(xué)原理詳解(Part5) ——傅立葉級數的概念2

　　http://dyxdggzs.com/article/201703/344948.htm

　　1.4.4 傅立葉變換的由來(lái)

　　這就是傅立葉變換及其反變換的表達式。一般情況下，若“傅立葉變換”一詞前不加任何限定語(yǔ)，則指的是“連續傅立葉變換”(連續函數的傅立葉變換)。連續傅立葉變換將頻率域的函數F(w) 表示為時(shí)間域的函數f(t)的積分形式。而其逆變換則是將時(shí)間域的函數f(t)表示為頻率域的復指數函數F(w)的積分。一般可稱(chēng)函數f(t)為原函數，而稱(chēng)函數F(w)為傅立葉變換的像函數，原函數和像函數構成一個(gè)傅立葉變換對。

　　若f(t)為偶函數，則F(w)將為純實(shí)數，并且同為偶函數(利用這一點(diǎn)便可以得到所謂的余弦變換);如果f(t)為奇函數，則F(w)將為純虛數，且同為奇函數;而對任意f(t)， F(w)與F(-w) 始終共軛，這意味著(zhù)|F(w)| 與|F(-w)| 恒相等，即F(w)的絕對值是偶函數。

　　傅立葉變換針對的是非周期函數，或者說(shuō)是周期為無(wú)窮大的函數。所以它是傅立葉級數的一個(gè)特例。當傅立葉級數的周期 l 趨于無(wú)窮時(shí)，自然就變成了上面的傅立葉變換。這種關(guān)系從二者的表達式中大概能看出點(diǎn)端倪，但也不是特別明顯，畢竟它們的表達形式差別仍然很大。如果不把傅立葉級數表達成復數形式，那就更加難看出二者之間的聯(lián)系了。傅立葉變換要求 f(t)在實(shí)數域 上絕對可積，其實(shí)可以理解成“傅立葉級數要求函數在一個(gè)周期內的積分必須收斂”。

　　傅立葉變換是信號處理中的重要工具。在信號處理中， f(t)表示的一個(gè)信號在時(shí)域上的分布情況，而F(w) 則表示一個(gè)信號在頻域(或變換域)上的分布情況。這是因為 F(w)的分布其實(shí)就代表了各角頻率波分量的分布。由于 F(w)是復數，|F(w)| 的分布正比地體現了各個(gè)角頻率波分量的振幅分布。F(w) 的輻角體現了各個(gè)角頻率波分量的相位分布。平時(shí)所說(shuō)的“頻譜圖”，其實(shí)指的就是|F(w)|的函數圖像，它始終是偶函數(這個(gè)就是實(shí)數了，因為取的是|F(w)| 的幅值而不是 F(w)本身)。對于滿(mǎn)足傅立葉變換條件的非周期函數，他們的頻譜圖一般都是連續的;而對于周期函數，他們的頻譜則都是離散的點(diǎn)，只在整數倍角基頻( π/ l)的位置有非零的頻譜點(diǎn)存在。根據頻譜圖可以很容易判斷該原函數是周期函數還是非周期的(看頻譜圖是否連續就可以了)，而且對于周期函數，可以從頻譜圖讀出周期大小(相鄰的離散點(diǎn)之間的橫軸間距就是角基頻，這個(gè)角頻率對應的周期就是原函數的周期)。關(guān)于傅立葉變換在信號處理中更加深入的應用讀者有必要參閱相關(guān)資料，此處我們的介紹旨在幫助讀者搞清楚傅立葉變換的由來(lái)，并建立傅立葉變換與傅立葉級數之間的關(guān)系。