傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換最全攻略
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傅里葉變換簡(jiǎn)單通俗理解就是把看似雜亂無(wú)章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦(余弦)信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦(余弦)信號中振幅較大(能量較高)信號對應的頻率，從而找出雜亂無(wú)章的信號中的主要振動(dòng)頻率特點(diǎn)。
定義式：設有一時(shí)間函數f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞單邊函數 ,其中，S=σ+jω 是復參變量，稱(chēng)為復頻率。左端的定積分稱(chēng)為拉普拉斯積分，又稱(chēng)為f(t)的拉普拉斯變換;
右端的F(S)是拉普拉斯積分的結果，此積分把時(shí)域中的單邊函數f(t)變換為以復頻率S為自變量的復頻域函數F(S)，稱(chēng)為f(t)的拉普拉斯象函數。
以上的拉普拉斯變換是對單邊函數的拉普拉斯變換，稱(chēng)為單邊拉普拉斯變換。
如f(t)是定義在整個(gè)時(shí)間軸上的函數，可將其乘以單位階躍函數，即變?yōu)閒(t)ε(t)，則拉普拉斯變換為F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt
其中積分下標取0-而不是0或0+ ，是為了將沖激函數δ(t)及其導函數納入拉普拉斯變換的范圍。
z變換可將分散的信號(現在主要用于數字信號)從時(shí)域轉換到頻域。作用和拉普拉斯變換(將連續的信號從時(shí)域轉換到頻域)是一樣的。
拉普拉斯變換是將時(shí)域信號變換到“復頻域”，與傅里葉變換的“頻域”有所區別。
FT[f(t)]=從負無(wú)窮到正無(wú)窮對[f(t)exp(-jwt)]積分 ,LT[f(t)]=從零到正無(wú)窮對[f(t)exp(-st)]積分 ,(由于實(shí)際應用，通常只做單邊拉普拉斯變換 ，即積分從零開(kāi)始) .具體地，在傅里葉積分變換中，所乘因子為exp(-jwt)，此處，-jwt顯然是為一純虛數;而在拉普拉斯變換 中，所乘因子為exp(-st)，其中s為一復數：s=D+jw,jw是為虛部，相當于Fourier變換中的jwt，而D則是實(shí)部，作為衰減因子，這樣就能將許多無(wú)法作Fourier變換的函數(比如exp(at),a>0)做域變換。 拉普拉斯變換 主要用于電路分析，作為解微分方程的強有力工具(將微積分運算轉化為乘除運算)。但隨著(zhù)CAD的興起，這一作用已不怎么受重視了，但關(guān)于其收斂域的分析(零極點(diǎn)圖)依然常用。 Fourier變換則隨著(zhù)FFT算法(快速傅立葉變換)的發(fā)展已經(jīng)成為最重要的數學(xué)工具應用于數字信號處理領(lǐng)域。
而Z變換，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是離散信號(也可以叫做序列)的拉普拉斯變換 ，可由抽樣信號的拉普拉斯變換 導出(如果你想要更多，我可以導給你看)，表示式如下：
ZT[f(n)]=從n為負無(wú)窮到正無(wú)窮對[f(n)Z^(-n)]求和 ,其所變換的域稱(chēng)之為“Z域”。
傅立葉變換是拉普拉斯變換的一種特例，在拉普拉斯變換中，只要令Re[s]=1,就得到傅立葉變換。當然，兩者可以轉換的前提是信號的拉普拉斯變換的收斂域要包含單位圓(即包含圓周上的點(diǎn))。
很多信號都不一定有傅立葉變換，因為狄力克雷條件比較苛刻，而絕大多數信號都有拉普拉斯變換。故對于連續信號，拉普拉斯變換比傅立葉變換用得更廣泛。
兩者的共同點(diǎn)：都把時(shí)域函數轉換為頻域函數(對于拉普拉斯變換來(lái)說(shuō)，是轉到復頻域上)。另外，兩者都能很方便地解出低階微分方程。
這三種變換的本質(zhì)是將信號從時(shí)域轉換為頻域。傅里葉變換的出現顛覆了人類(lèi)對世界的認知：世界不僅可以看作雖時(shí)間的變化，也可以看做各種頻率不同加權的組合。舉個(gè)不太恰當的例子：一首鋼琴曲的聲音波形是時(shí)域表達，而他的鋼琴譜則是頻域表達。
三種變換由于可以將微分方程或者差分方程轉化為多項式方程，所以大大降低了微分(差分)方程的計算成本。
另外，在通信領(lǐng)域，沒(méi)有信號的頻域分析，將很難在時(shí)域理解一個(gè)信號。因為通信領(lǐng)域中經(jīng)常需要用頻率劃分信道，所以一個(gè)信號的頻域特性要比時(shí)域特性重要的多。
具體三種變換的分析(應該是四種)是這樣的：
傅里葉分析包含傅里葉級數與傅里葉變換。傅里葉級數用于對周期信號轉換，傅里葉變換用于對非周期信號轉換。
但是對于不收斂信號，傅里葉變換無(wú)能為力，只能借助拉普拉斯變換。(主要用于計算微分方程)
而z變換則可以算作離散的拉普拉斯變換。(主要用于計算差分方程)
從復平面來(lái)說(shuō)，傅里葉分析直注意虛數部分，拉普拉斯變換則關(guān)注全部復平面，而z變換則是將拉普拉斯的復平面投影到z平面，將虛軸變?yōu)橐粋€(gè)圓環(huán)。(不恰當的比方就是那種一幅畫(huà)只能通過(guò)在固定位置放一個(gè)金屬棒，從金屬棒反光才能看清這幅畫(huà)的人物那種感覺(jué)。)
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