FFT、PFT和多相位DFT濾波器組瞬態(tài)響應的比較

　　引言

　　濾波器組頻率響應的研究是一個(gè)非常復雜的課題。這方面的大多數文章只研究穩定狀態(tài)下的響應，事實(shí)上，雷達和其它突發(fā)方式的信號具有瞬時(shí)的特性。因此，了解濾波器組的瞬時(shí)性能是非常重要的。一般而言，頻率分辨特性越好，穩定下來(lái)需要的時(shí)間越長(cháng)。這是因為越是陡峭的濾波器，其需要的抽頭就越多、沖激響應時(shí)間越長(cháng)。因此，在穩定期間，濾波器抽頭沒(méi)有充滿(mǎn)，相鄰信道的頻率響應實(shí)際上比非加權的FFT濾波器組還要差。

　　本文將對FFT和多相位DFT濾波器組進(jìn)行比較，包括穩定狀態(tài)和瞬時(shí)條件的情況。同時(shí)也簡(jiǎn)要地分析了過(guò)抽樣和所謂的“最小相位”濾波器的內容。

　　濾波器組穩定狀態(tài)下的頻率響應

　　頻率響應的比較

　　眾所周知，管道FFT的有效濾波器響應是Sinx/x (Sinc)函數，對很多應用，它不能提供足夠的相鄰信道抑制能力。使用簡(jiǎn)單的窗口函數，比如Hanning, Kaiser, Blackman-Harris等，可改善濾波器的旁瓣抑制，代價(jià)是主瓣寬度減小。通過(guò)設計適當的濾波器組，比如PFT和多相位DFT,可以改善頻率響應特性。

　　有效噪聲帶寬

　　濾波器性能的另一個(gè)重要參數是有效噪聲帶寬(ENB)。表1給出了幾種濾波器組的比較。

　　由表1可知，Blackman-Harris窗口加權的FFT具有很好的旁瓣抑制，但在信噪比(S/N)上損失超過(guò)3dB ；而一個(gè)8抽頭多相位DFT(如下面要說(shuō)明的一個(gè)8倍變換長(cháng)度的窗口)具有良好的旁瓣抑制和低的有效噪聲帶寬，信噪比損失只有1dB 。

　　一般時(shí)域考慮

　　時(shí)域抽樣窗口

　　對簡(jiǎn)單的窗口抽樣，窗口中的抽樣點(diǎn)數目等于它自身的變換長(cháng)度。為了獲得更好的濾波效果，需要使窗口中的抽樣點(diǎn)數目大于變換長(cháng)度。理論上，窗口的大小可以為任意長(cháng)度。在多相位DFT當中，它通常是變換長(cháng)度的整數倍(2x，3x等)，但是在WOLA實(shí)現中，它可以是任意長(cháng)度。比方說(shuō)，一個(gè)1024子帶的濾波器組可能需要4096個(gè)輸入抽樣(4倍幀長(cháng)度)作為第一個(gè)全輸出的幀。對于PFT濾波器組，需要的抽樣點(diǎn)數目等同于級聯(lián)濾波器的沖激響應，但實(shí)際效果類(lèi)似于獲得第一個(gè)全輸出幀需要的抽樣點(diǎn)數目，遠超過(guò)了幀的長(cháng)度。

　　過(guò)抽樣

　　影響處理吞吐量速率的另一個(gè)因素是輸出濾波器需要的過(guò)抽樣程度。即使獲得臨界抽樣(抽樣速率正好等于奈奎斯特速率)也需要交迭處理。使用上面的例子，形成1024子帶的第一個(gè)全輸出幀需要4096個(gè)抽樣。要實(shí)現臨界抽樣就意味著(zhù)1024子帶的下一幀在時(shí)間上必須與前一幀相鄰，并且輸出抽樣速率必須等于輸入抽樣速率。這可以通過(guò)下一組4096個(gè)抽樣點(diǎn)的起始延時(shí)1024個(gè)抽樣點(diǎn)、并進(jìn)行4次交迭處理來(lái)實(shí)現。要實(shí)現過(guò)抽樣，需要增加交迭的次數。再用以上的例子，2倍的過(guò)抽樣將需要4096個(gè)抽樣的延時(shí)，而通過(guò)8次交迭處理，僅需512個(gè)抽樣即可滿(mǎn)足上述要求。PFT通常采用2倍的過(guò)抽樣。

　　過(guò)抽樣的程度由新抽樣的數目M(每一次新變換的參數)決定。M的值越小，過(guò)抽樣因子越大。

　　瞬態(tài)分析

　　一般參數

　　盡管多相位、WOLA 或 PFT濾波器組在穩態(tài)條件(如穩定的信號條件和所有的濾波器抽頭充滿(mǎn))給出了很好的相鄰信道抑制性能，瞬態(tài)響應卻是另外一種情況。在以下的討論中，使用的一般參數是：

　　子帶的數目 = 1024
　　輸入抽樣速率=102.4 MS/s(復數)
　　輸出抽樣速率 = 204.8 MS/s (2倍過(guò)抽樣)
　　多相位抽頭的數目=5(等同5120點(diǎn)窗口)
　　濾波器阻帶抑制 = -85 dB
　　濾波器通帶紋波 = 0.2 dB(峰—峰)
　　濾波器交迭 = 75%
　　最后一個(gè)參數用來(lái)測量濾波器的截止率。濾波器被設計成子帶的邊緣內都是平坦的，然后進(jìn)入阻帶，與相鄰子帶的寬度有75%的交迭。

　　瞬態(tài)的結果由一個(gè)正弦波輸入的階梯函數產(chǎn)生，頻率范圍從中心頻率到半個(gè)子帶的偏移。它給出了對于FFT的最差的頻譜泄漏。

　　下面將介紹歸一化的功率譜(10*Log10{I2+Q2})，描述在2倍過(guò)抽樣速率(在這種情況下速率是204.8MS/s)情況下的管道輸出。一個(gè)單獨的1024抽樣的幀包含了從蠪s/2 到 +Fs/2的交織頻率子帶，這里Fs是輸入復數抽樣速率。

　　FFT瞬態(tài)響應

　　圖1給出了非加權FFT的瞬態(tài)響應。圖中沒(méi)有表示在第一次輸出前需要采集1024個(gè)抽樣和實(shí)際硬件處理帶來(lái)的任何其它延時(shí)的“廢棄”時(shí)間。因為它是2倍過(guò)抽樣，第一個(gè)1024點(diǎn)的幀還沒(méi)有達到穩定狀態(tài)。這可以由以下的事實(shí)說(shuō)明：第一個(gè)輸出幀在5ms內產(chǎn)生(1024個(gè)點(diǎn)以204.8MS/s 的抽樣速率產(chǎn)生)，而輸入抽樣速率是102.4MS/s ，這意味著(zhù)只有512個(gè)抽樣是有用的(剩余的為0)。

圖1 2倍過(guò)抽樣、非加權、1024子帶管道FFT瞬態(tài)響應