小波變換和motion信號處理：第二篇

說(shuō)到這里，可能你對scaling function以及多解析度分析已經(jīng)比較理解了。但是，我們還沒(méi)有涉及到它們在小波變換中的具體應用，也就是還沒(méi)有回答剛才那個(gè)問(wèn)題：憑空插了一個(gè)scaling function到小波basis組合中干嘛。也就是說(shuō)，我們希望理解scaling function是怎么和小波函數結合的呢，多解析度能給小波變換帶來(lái)什么樣的好處呢。這其實(shí)就是是小波變換中的核心知識。理解了這個(gè)，后面的小波變換就是純數學(xué)計算了。

好，我們已經(jīng)知道，對于子空間V0，basis是scaling function：

對應的小波函數是：

然后子空間V1的basis集合是這倆哥們：

看出什么規律了么?多看幾次這三個(gè)圖，你會(huì )驚訝地發(fā)現，在V0中的scaling function和wavelet function的組合，其實(shí)就是V1中的basis!繼續這樣推導，V1本來(lái)的的basis是：

然后V1中對應的wavelet function是

他們的組合，本質(zhì)上也就是V2的basis(參考圖2)。你繼續推導下去，會(huì )得到同樣的結論：在scale j的wavelet function，可以被用來(lái)將Vj的basis擴展到V(j+1)中去!這是一個(gè)非常非常關(guān)鍵的性質(zhì)，因為這代表著(zhù)，對任何一個(gè)子空間Vj，我們現在有兩種方法去得到它的orthonormal basis：

1. 一種就是它本來(lái)的basis

，對任意k。

2. 第二種就是它上一個(gè)子空間的basis

，對任意k，以及上一級子空間的wavelet function

，對任意k。

第二種選擇能給我們帶來(lái)額外的好處，那就是我們可以循環(huán)不斷地用上一級子空間的scaling function以及wavelet function的組合來(lái)作為當前子空間的基。換句話(huà)說(shuō)，如果針對V3這個(gè)子空間，它實(shí)際上就有四種不同的，但是等價(jià)的orthonormal basis：

1. 本級(V3)的scaling function basis set

2. 上一級(V2)的scaling function + wavelet function;

3 . 上上一級(V1)的scaling function + 上上一級(V1)的wavelet function + 上一級(V2)的wavelet function;

4. 上上上一級(V0)的scaling function + 上上上一級(V0)的wavelet function + 上上一級(V1)的wavelet function + 上一級(V2)的wavelet function

好，看看最后一種選取方式，有沒(méi)有感到眼熟?對了，它就是我們之前提到的“針對此信號space的哈爾小波basis組合”，參見(jiàn)圖1?，F在我們知道了，這個(gè)scaling function不是憑空插進(jìn)去的，而是通過(guò)不斷的嵌套迭代出來(lái)的：)

那為什么我們最后選定的是這種選取方式呢?實(shí)際上，剛才介紹的這個(gè)性質(zhì)已經(jīng)告訴我們，對于任何的scale j0，我們都可以給我們的signal space找到一組orthonormal basis，這個(gè)basis是通過(guò)組合scale j0上的scaling function以及所有在scale j，j>j0上的wavelets得到的。這樣，基于這個(gè)orthonormal basis，所有信號空間中的信號都可以寫(xiě)成組成這個(gè)basis的functions的線(xiàn)性組合：

對應的系數的計算和平常一樣：

這，就是最終的，也是最核心的，小波變換形式。不管是信號壓縮，濾波，還是別的方式處理，只要是用小波變換，都逃不出這個(gè)基礎流程：

1. 選取合適的wavelet function和scaling function，從已有的信號中，反算出系數c和d。

2. 對系數做對應處理

3. 從處理后的系數中重新構建信號。

這里的系數處理是區別你的應用的重點(diǎn)。比如圖像或者視頻壓縮，就希望選取能將能量聚集到很小一部分系數中的小波，然后拋棄那些能量很小的小波系數，只保留少數的這些大頭系數，再反變換回去。這樣的話(huà)，圖像信號的能量并沒(méi)有怎么丟失，圖像體積卻大大減小了。

還有一個(gè)沒(méi)有解釋的問(wèn)題是，為什么要強調尺度函數和小波函數組成一個(gè)orthonormal basis呢?計算方便是一方面，還有一個(gè)原因是，如果他們滿(mǎn)足這個(gè)性質(zhì)，就滿(mǎn)足瑞利能量定理，也就是說(shuō)，信號的能量，可以完全用每個(gè)頻域里面的展開(kāi)部分的能量，也就是他們的展開(kāi)系數表示：

到這里，我們對小波變換的形式就講完了。雖然是用的最簡(jiǎn)單的哈爾小波為例子，但舉一反三即可。我們著(zhù)重介紹了多解析度分析以及它給小波變換帶來(lái)的殺手锏：時(shí)域頻域同時(shí)定位。結束之前，再多說(shuō)幾句小波變換的意義。我們拿剛才例子中V3子空間的第二種可選擇的orthonormal basis作為例子：

左邊這四個(gè)basis組成元素，也就是scaling functions，的系數，表征的是信號的local平均(想想它們和信號的內積形式)，而右邊的這四個(gè)basis組成元素，也就是wavelet functions，的系數則表征了在local平均中丟失的信號細節。得益于此，多解析度分析能夠對信號在越來(lái)越寬的區域上取平均，等同于做低通濾波，而且，它還能保留因為平均而損失的信號細節，等同于做高通濾波!這樣，我們終于可以解釋了wavelet function和scaling function背后的物理意義了：wavelet function等同于對信號做高通濾波保留變化細節，而scaling function等同于對信號做低通濾波保留平滑的shape!

對小波變換的基礎知識，我們就講到這里。需要注意的是，這只是小波變換最基本最基本的知識，但也是最核心的知識。掌握了這些，代表你對小波變換的物理意義有了一定的了解。但對于小波變換本身的講解，一本書(shū)都不一定能將講透，還有很多的基礎知識我都沒(méi)有講，比如如何構建自己的scaling function，選取合適的系數集h[k]，并由此構建自己的wavelet functions。所以，如果有深入下去研究的同學(xué)，好好買(mǎi)一本書(shū)來(lái)看吧。而只是希望用小波變換來(lái)服務(wù)自己的應用的同學(xué)，個(gè)人覺(jué)得這些知識已經(jīng)足夠讓你用來(lái)起步了。