小波變換和motion信號處理：第二篇

當然，如果這個(gè)scaling function只是用來(lái)代表一個(gè)子空間的，那它的地位也就不會(huì )這么重要了。剛才我們提到，這個(gè)嵌套空間序列有一個(gè)性質(zhì)，

。這就是這個(gè)函數，如果你對它頻域的放大或縮小，它就會(huì )相應移到下一個(gè)或者上一個(gè)空間了。這個(gè)性質(zhì)就有意思了，它代表什么呢?對于任何一個(gè)包含V0的更上一層的空間來(lái)講，他們的基都可以通過(guò)對scaling function做頻域的scale后再做時(shí)域上的整數變換得到!推廣開(kāi)來(lái)就是說(shuō)，當

我們有

這也就意味著(zhù)，對于任何屬于V_j空間的函數f(t)，都可以表示為：

到這里，我們就明白這些個(gè)子空間和那個(gè)憑空冒出來(lái)的scaling function的作用了。scaling的構建這些不同的子空間的基礎，當j越大的時(shí)候，每一次你對頻率變換后的scaling function所做的時(shí)域上的整數平移幅度會(huì )越小，這樣在這個(gè)j子空間里面得到的f(t)表示粒度會(huì )很細，細節展現很多。反之亦然。通俗點(diǎn)說(shuō)，就是對scaling function的變換平移給你不同的子空間，而不同的子空間給你不同的分辨率，這樣你就可以用不同的分辨率去看目標信號。

下面就是時(shí)候看看什么是MRA equation了，這是更加有趣，也是更加核心的地方。通過(guò)剛才的講解，V0屬于V1，那scaling function

是在V0中的，自然也在V1中了。我們把他寫(xiě)成V1的基的線(xiàn)性組合，那就是

其中的h(n)是scaling function的系數，也叫做scaling filter或者scaling vector，可以是實(shí)數，也可以是虛數。根號2是為了維持norm為1的?？?，在這個(gè)公式里，我們就把屬于V0的函數用V1的基表示出來(lái)了。同理，我們可以循環(huán)如此，把屬于V0的

在V2, V3, …, Vn中表示出來(lái)。這些方程就是MRA equation，也叫refinement equation，它是scaling function理論的基礎，也是小波分析的基礎之一。

好，稍微總結一下。到現在，已經(jīng)講了關(guān)于scaling function的基本理論知識，知道了信號空間可以分為不同精細度的子空間，這些子空間的basis集合就是scaling function或者頻率變換之后的scaling function，如下圖所示：

上圖就是四個(gè)子空間的basis集合的展覽。通過(guò)前面的討論，我們還知道，一開(kāi)始的scaling function可以通過(guò)更精細的子空間的scaling function(它們都是對應子空間的basis)來(lái)構建。比如

對于更加finer的scale：

圖2

依此類(lèi)推。實(shí)際上，對于任何scale和translate過(guò)的scaling function，都可以用更加精細的scale層面上的scaling function構建出來(lái)。

然后，我們有各種scale下的scaling function了，該看看它們分別所對應的嵌套的空間序列

了。先看看V0，自然就是以基本的scaling function為基礎去span出來(lái)的：

這個(gè)不新鮮，剛才就講過(guò)了。這個(gè)子空間代表什么樣的信號?常量信號。道理很簡(jiǎn)單，這個(gè)scaling function在整個(gè)信號長(cháng)度上，沒(méi)有任何變化。繼續往下看：

這個(gè)相比V0更加finer的子空間，代表著(zhù)這樣一種信號，它從1-4是常量，從5-8是另一個(gè)常量。同理我們有：

V2代表的信號，是分別在1，2; 3，4; 5，6; 7，8上有相同值的信號。那么V3呢?則表示任何信號，因為對于V3來(lái)講，任何一個(gè)時(shí)間刻度上的值都可以不一樣。而且現在，我們也可以通過(guò)上面的一些scaling functions的波形驗證了之前提到的多解析度分析中的一個(gè)核心性質(zhì)，那就是：

我們之前講了一堆多解析度的理論，但直到現在，通過(guò)這些圖形化的分析，我們可能才會(huì )真正理解它。那好，既然我們有一個(gè)現成的信號，那就來(lái)看看，對這個(gè)信號作多解析度分析是啥樣子的：

你看，在不同的子空間，對于同一個(gè)信號就有不同的詮釋。詮釋最好的當然是V3，完全不損失細節。這就是多解析度的意義。我們可以有嵌套的，由scaling function演變的basis function集合，每一個(gè)集合都提供對原始信號的某種近似，解析度越高，近似越精確。