單片機浮點(diǎn)數的實(shí)用快速除法介紹

作為單片機程序員來(lái)說(shuō)，在編寫(xiě)程序時(shí)經(jīng)常要檢驗程序中的浮點(diǎn)數運算結果是否正確，但手中又沒(méi)有合適的檢驗工具，非常麻煩。而一般單片機是沒(méi)有浮點(diǎn)數運算指令的，必須自行編制相應軟件。在進(jìn)行除法計算時(shí)，通常使用的方法是比較除法，即利用循環(huán)移位和減法操作來(lái)得到24～32位商，效率很低。這里給出一種浮點(diǎn)數除法運算的實(shí)用快速算法。該方法以數值計算中的預估-修正方法為指導，充分利用了16位單片機的乘除法功能，很輕易地實(shí)現了浮點(diǎn)數的除法。

　　1 浮點(diǎn)數格式

　　IEEE的浮點(diǎn)數標準規定了單精度（4字節）、雙精度（8字節）和擴展精度（10字節）三種浮點(diǎn)數的格式。最常用的是單精度浮點(diǎn)數，格式如圖1所示。但是這種格式的階碼不在同一個(gè)字節單元內，不易尋址，從而會(huì )影響運算速度。

　　通常在單片機上采用的是一種變形格式的浮點(diǎn)數，如圖2所示。其中的23位尾數加上隱含的最高位1，構成一個(gè)定點(diǎn)原碼小數，即尾數為小于1大于等于0.5的小數。

　　2 快速除法的算法原理

　　在16位單片機中只有16位的乘除法，而浮點(diǎn)數的精度（即尾數的有效位數）達24位，因此無(wú)法直接相除，但依然可以利用16位的乘除法指令來(lái)實(shí)現24位除法。不過(guò)，如果只進(jìn)行一次16位的除法必定會(huì )帶來(lái)很大誤差，因此問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何消除這個(gè)誤差，從而達到要求的精度。這其實(shí)就是通常數值計算中所采用的預估-修正方法。

　　假設兩個(gè)浮點(diǎn)數經(jīng)過(guò)預處理后，被除數和除數尾數擴展為32位（末8位為0）分別放入X和Y中。鄰YL為Y的低16位，并記YH=Y-YL。顯然YH≈Y，X/Y與Y/YH相差不多：

　　可見(jiàn)只需要在X/YH的基礎上再乘以一個(gè)修正因子（YH-YL）/YH，就可以得到X/Y的一次校準值。不難證明這個(gè)值已經(jīng)達到了24位的精度要求。事實(shí)上，相對誤差滿(mǎn)足：

　　這說(shuō)明這個(gè)一次校準值完全可以作為最終的結果。

　　3 算法的具體實(shí)現

　　在具體實(shí)現本算法時(shí)，主要經(jīng)過(guò)下列步驟：

　　這里的YH雖仍是32位，但其低16位已為0，計算時(shí)可以將它視為16位數，這不會(huì )影響計算精度。通過(guò)兩次16位除法，就可得到精確的32位結果。例如，計算Q0時(shí)，第一次除法，X除以YH的高16位，得到的商為Q0的高16位，而16位余數末尾添0成32位，再除以YH的高16位，得到Q0的低16位（余數舍去）。由此得到了32位的Q0。

　　在具體運算中，X應選除以4（X左移2位），以保證Q0不會(huì )溢出（YH取高16位）：

　　由于X為32位（末8位為0），這一操作不影響有效數字。而，不存在溢出的問(wèn)題。最后計算校準值Q時(shí)，有。

　　在計算Q0'、Q1時(shí)，均進(jìn)行了兩次16位除法，使得Q0'、Q1均為精確的32位，保證了計算過(guò)程中的精度，減小了累積誤差。對于YL=0即除數只有16位有效數字的特殊情況，直接有Q1=1，還能省去兩次16位除法。