頻率響應法-相對穩定性分析

為了使控制系統能可靠地工作，不但要求它能穩定，而且還希望有足夠的穩定裕量，使系統在環(huán)境發(fā)生變化或存在干擾的情況下仍能工作，這即為相對穩定性的概念。

在討論系統的穩定裕量時(shí)，首先要假定開(kāi)環(huán)系統是穩定的，是最小相位系統，即開(kāi)環(huán)系統的零、極點(diǎn)均僅位于s的左半平面，否則討論系統的穩定裕量是無(wú)意義的。

為了說(shuō)明相對穩定性的概念，圖5－49為一典型的I型系統 曲線(xiàn)，其開(kāi)環(huán)系統的傳遞函數為： 。根據奈氏判據可知，當 時(shí)，系統不穩定，奈氏曲線(xiàn)包圍（－1，j0）點(diǎn)；當 時(shí)，系統產(chǎn)生等幅振蕩，奈氏曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)（－1，j0）點(diǎn)；當 時(shí)，系統穩定，奈氏曲線(xiàn)不包圍（－1，j0）點(diǎn)。因此直觀(guān)地看，對于開(kāi)環(huán)穩定的系統，要求閉環(huán)系統有一定的穩定性，不僅要求 的幅頻特性不包圍（－1，j0）點(diǎn)，而且應與該點(diǎn)有一定的距離，即有一定的穩定裕量。

衡量閉環(huán)系統相對穩定性的具體指標有幅值裕量 和相位裕量 。在Matlab中，相應地有專(zhuān)門(mén)的函數來(lái)求取上述指標：Margin。具體用法參見(jiàn)下面的例子。

5.5.1 用奈氏圖表示相位裕量和幅值裕量

1、 相位裕量

設一開(kāi)環(huán)穩定的系統的奈氏曲線(xiàn) 負實(shí)軸相交于G點(diǎn)，與單位圓相交于C點(diǎn)，如圖5－50。對應于 時(shí)的頻率 （交點(diǎn)C）稱(chēng)為增益穿越頻率，又稱(chēng)剪切頻率或交界頻率。在剪切頻率 處，使系統達到臨界穩定狀態(tài)時(shí)所能接受的附加相位遲后角，定義為相位裕量，用 表示之。對于任何系統，相位裕量 的算式為

(5-54)

式中， 是開(kāi)環(huán)頻率特性在剪切頻率 處的相位。

不難理解，對于開(kāi)環(huán)穩定的系統，若 ，表示 曲線(xiàn)包圍（－1，j0）點(diǎn)，相應的閉環(huán)系統是不穩定的；反之，若 ，則相應的閉環(huán)系統是穩定的。一般 越大，系統的相對穩定性也就越好。因為系統的參數并非絕對不變，如果 太小，就有可能因參數的變化而使奈奎斯特曲線(xiàn)包圍（－1，j0）點(diǎn)，即導致系統不穩定。

2、 幅值裕量

幅值裕量是系統相對穩定性的另一度量指標。如圖5－50所示，開(kāi)環(huán)頻率特性的相角 時(shí)的頻率 （交點(diǎn)G）處， 稱(chēng)為相位穿越頻率，又稱(chēng)為相位交界頻率。開(kāi)環(huán)幅值 的倒數稱(chēng)為增益裕量，用 表示。即

(5-55)

上式表示系統在變到臨界穩定時(shí)，系統的增益能增大多少。

由奈奎斯特穩定判據可知，對于最小相位系統，其閉環(huán)穩定的充要條件是 曲線(xiàn)不包圍（－1，j0）點(diǎn)，即 曲線(xiàn)與其負實(shí)軸交點(diǎn)處的模小于1，此時(shí)對應的 。反之，對于不穩定的系統，其 ，如圖5－51所示，閉環(huán)系統是不穩定的。

5.5.2 用伯德圖表示相位裕量和幅值裕量

上述的相位裕量和幅值裕量也可在對數幅相圖（Bode圖）上表示。對應于圖5－5