用最小二乘法解熱電偶近似誤差

了解k型熱電偶的線(xiàn)性近似誤差，以及如何使用最小二乘法和Matlab來(lái)找到最小化近似誤差的最佳擬合線(xiàn)。

之前，我們研究了熱電偶冷端補償（CJC）的硬件實(shí)現。CJC電路需要感測冷端（Tc）的溫度，并在Tc的溫度下產(chǎn)生與熱電偶產(chǎn)生的電壓相等的補償電壓。

總的來(lái)說(shuō)，熱電偶是非線(xiàn)性的，由簡(jiǎn)單的模擬電路產(chǎn)生的補償電壓只能近似實(shí)際響應。因此，使用線(xiàn)性方程來(lái)近似熱電偶響應會(huì )給我們的測量帶來(lái)誤差。

考慮到所有這些，本文將研究這個(gè)誤差，并看看我們如何使用最小二乘法來(lái)找到最小化近似誤差的最佳擬合線(xiàn)。

K型熱電偶線(xiàn)性近似誤差的評定

下圖1顯示了K型熱電偶的輸出和我們在上一篇文章中使用的線(xiàn)性近似值。

K型熱電偶的輸出和線(xiàn)性近似。

圖1。K型熱電偶的輸出和線(xiàn)性近似。

在這種情況下，我們假設熱電偶響應的斜率是恒定的，等于其在室溫下的值（25°C時(shí)為41μV/°C）。如圖所示，所采用的直線(xiàn)穿過(guò)原點(diǎn)。通過(guò)減去這兩條曲線(xiàn)，我們得到了圖2所示的μV近似誤差。

以μV為單位的近似誤差圖。

圖2:以μV為單位的近似誤差圖。

接下來(lái)，通過(guò)將差分曲線(xiàn)除以直線(xiàn)的斜率（41μV/°C），我們得到了以°C為單位的誤差，如圖3所示。

顯示誤差與冷端溫度的關(guān)系圖。

圖3。顯示誤差與冷端溫度的關(guān)系圖。

上圖顯示，即使使用理想的電路元件，當Tc從0變化到70°C時(shí)，我們也會(huì )有大約0.7°C的誤差。這個(gè)誤差僅源于我們的線(xiàn)性近似。我們可以使用最小二乘回歸線(xiàn)方法[視頻]來(lái)找到最適合我們數據點(diǎn)的線(xiàn)性方程。

用最小二乘法尋找最佳擬合線(xiàn)

我們將通過(guò)一個(gè)例子解釋最小二乘擬合過(guò)程。假設我們有以下數據點(diǎn)：

表1。示例數據點(diǎn)。

我們想找到最能代表這些數據點(diǎn)的直線(xiàn)。圖4顯示了這些點(diǎn)以及通過(guò)目視檢查選擇的直線(xiàn)，該直線(xiàn)試圖遵循數據中的趨勢。

顯示示例數據點(diǎn)和線(xiàn)性近似值的圖。

圖4。顯示示例數據點(diǎn)和線(xiàn)性近似值的圖。

正如你所看到的，一條直線(xiàn)不能穿過(guò)所有這些點(diǎn)。因此，我們的線(xiàn)性近似可能會(huì )給出與數據點(diǎn)實(shí)際值不同的值。例如，在圖4中，直線(xiàn)在x=7處給出y=14，而在該x值處實(shí)際值為16。因此，實(shí)際值與我們的線(xiàn)性模型產(chǎn)生的值之間存在2個(gè)單位的差異。

在最小二乘法的背景下，實(shí)際曲線(xiàn)值和線(xiàn)性模型值之間的差異稱(chēng)為殘差（本文中用r表示）。在這個(gè)例子中，x=7處的殘差等于r=+2。殘差的平方和可以被視為我們的線(xiàn)性模型與數據擬合程度的指標。根據圖4所示的模型，我們有：

其中，總和指數（i）是指我們數據中的第i個(gè)點(diǎn)。最小二乘法試圖通過(guò)調整線(xiàn)性模型的斜率（m）和y軸截距（b）來(lái)最小化所有數據點(diǎn)的殘差平方和。使用下面的方程式1和2可以找到“最適合”數據的線(xiàn)性模型的斜率和y軸截距：

方程式1。

方程式2。

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xi和yi是第i個(gè)數據點(diǎn)的x和y值

x和y是所有xi和易的平均值

n是數據點(diǎn)的總數

根據表1中給出的數據，我們得到x=4.2和y=7.2。表2顯示了將方程1和2應用于我們的數據點(diǎn)時(shí)的一些計算。

表2。根據方程式1和2計算數據點(diǎn)。

使用上述值，我們得到：

以及

從那里，下圖5提供了我們獲得的線(xiàn)圖。

圖5。使用表2計算的繪圖線(xiàn)。

讓我們找到這個(gè)新模型的殘差平方和：

這給了我們：

這個(gè)方程比上面獲得的先前的和值小得多。最小二乘法中涉及的計算是乏味的，通常使用電子表格或計算機程序來(lái)進(jìn)行這些計算。

使用Matlab尋找最佳擬合線(xiàn)

在Matlab中繪制曲線(xiàn)后，我們可以從“工具”菜單（圖6（a））中選擇“基本擬合”選項，打開(kāi)“基本擬合（Basic Fitting）”窗口，如圖6（b）所示。

圖6。Matlab屏幕截圖顯示了“工具”菜單中的“最佳擬合”選項（A）和“最佳擬合“窗口（b）。

如果我們在“基本擬合”窗口中選擇“線(xiàn)性”和“顯示方程”，Matlab將生成并顯示“最適合”我們數據點(diǎn)的線(xiàn)性方程。

K型熱電偶的線(xiàn)性模型

繼續使用Matlab，我們發(fā)現K型熱電偶在0至70°C的溫度范圍內具有以下線(xiàn)性模型：

在這種情況下，模型的斜率和y軸截距分別為40.778μV/°C和13.695μV。四舍五入到兩位有效數字，我們得到：

該模型和K型熱電偶產(chǎn)生的值之間的差異如圖7所示。這給了我們μV的近似誤差。

圖7。顯示模型和K型熱電偶產(chǎn)生的值之間差異的圖。

將這些值除以41μV/°C線(xiàn)的斜率，我們得到了下面繪制的以°C為單位的誤差。

圖8。顯示分割前一個(gè)圖的值時(shí)的變化的圖。

根據最佳擬合線(xiàn)，當Tc從0變化到70°C時(shí)，近似誤差約為0.35°C。這幾乎是之前模型誤差的一半。最后，請記住，如果冷端溫度在設計中的變化范圍更有限，則可以獲得更準確的模型。例如，如果Tc從20°C變化到50°C，則最佳擬合線(xiàn)可以更準確地模擬熱電偶響應。

對于限制Tc如何提高精度的已解決示例，TI的這篇應用說(shuō)明可能很有用。