滯后損耗：估計、建模和Steinmetz方程

磁滯效應是鐵磁材料損耗的主要來(lái)源之一。在這篇文章中，我們學(xué)習了計算磁芯的磁滯損耗，并通過(guò)一些示例問(wèn)題進(jìn)行了研究。

本系列的前一篇文章討論了磁芯的磁滯損耗與其B-H曲線(xiàn)之間的關(guān)系。我們將從演示如何使用B-H曲線(xiàn)面積來(lái)估計滯后損失開(kāi)始這篇文章。然后我們將學(xué)習Steinmetz方程，這是一種估算損失的經(jīng)驗方法。最后，我們將簡(jiǎn)要討論如何在電感器和變壓器中建模磁滯損耗。

滯后損失與B-H曲線(xiàn)面積

磁滯效應導致鐵磁材料的B-H曲線(xiàn)是多值的，從而產(chǎn)生獨特的磁滯曲線(xiàn)。使材料沿其磁滯曲線(xiàn)經(jīng)歷一個(gè)磁化周期需要與曲線(xiàn)內面積成比例的工作量。在數學(xué)語(yǔ)言中，材料單位體積的滯后損失由下式給出：

方程式1。

其中積分是在磁滯回線(xiàn)的一個(gè)周期內進(jìn)行的。為了減少磁滯損耗，我們使用由軟鐵磁材料制成的鐵芯，這些鐵芯具有較小的磁滯回線(xiàn)，表明它們每個(gè)周期的能量損失較低。

方程式1給出了一個(gè)周期的耗散能量。在交流激勵下，交流電流的頻率決定了芯材每秒循環(huán)通過(guò)磁滯回線(xiàn)的次數。由于功率是每單位時(shí)間的能量傳遞或轉換速率，因此在一個(gè)周期內由于滯后而消耗的總功率為：

方程式2。

解釋?zhuān)?/p>

f是操作頻率

Vc是核心的體積。

讓我們來(lái)看一個(gè)例子。

示例1：用平行四邊形估計滯后環(huán)

圖1顯示了假設材料的滯后曲線(xiàn)。注意到曲線(xiàn)類(lèi)似于平行四邊形，讓我們估計一下：

每個(gè)周期每立方米的滯后損失。

50 Hz頻率下每m3的磁滯損耗。

磁性材料的磁滯曲線(xiàn)。它的形狀大致像一個(gè)平行四邊形。

圖1。磁性材料的磁滯曲線(xiàn)。

一個(gè)循環(huán)中損失的能量密度等于B-H曲線(xiàn)的面積。我們將通過(guò)繪制一個(gè)與B-H曲線(xiàn)大小匹配的平行四邊形來(lái)估算面積，而不是找到面積的確切值（圖2）。

圍繞滯后曲線(xiàn)繪制的綠色平行四邊形估計了曲線(xiàn)的面積。

圖2:綠色平行四邊形估計B-H曲線(xiàn)面積。

平行四邊形的底邊為10×10=100 A/m。其高度為2.75 T，使平行四邊形面積為275 J/m3。在50 Hz時(shí)，功率損耗密度為：

方程式3。

其中Acurve是曲線(xiàn)的估計面積。

矩形B-H回路磁滯損耗分析

為了更好地理解不同參數如何影響磁滯損耗，讓我們假設如下：

B-H曲線(xiàn)是矩形的。

它的工作點(diǎn)在原點(diǎn)。

由于操作點(diǎn)位于原點(diǎn)，因此該矩形的邊在正負方向上延伸得相等。因此，矩形的高度等于2Bm，底邊等于2Hm，其中Bm和Hm分別是通量密度和磁場(chǎng)強度的峰值。在這種情況下，磁滯回線(xiàn)面積（Acurve）等于4BmHm。

根據方程式2，滯后引起的總功率損失為：

方程式4。

其中μ0是自由空間的磁導率，μr是材料的相對磁導率。

假設磁滯曲線(xiàn)在一定通量密度范圍內保持矩形，我們觀(guān)察到磁滯損耗的體積密度具有以下一般形式：

方程式5。

其中kh是磁滯損耗系數，這是一種可以從制造商的數據中找到的材料特性。對于2.5%硅鋼，kh為93.89瓦/（T2m3）。

在上述方程中，Bm是頻率f處正弦激勵的磁通密度峰值。方程5顯示了磁滯損耗的兩個(gè)重要特性：

磁滯損耗隨著(zhù)信號頻率的升高而增加，因為鐵芯的磁疇在較高頻率下切換得更快。

滯后損耗隨著(zhù)施加的信號電平而增加。

通過(guò)改寫(xiě)方程4，我們可以揭示磁滯損耗的另一個(gè)性質(zhì)。假設電感器是一個(gè)具有N匝和長(cháng)度l的螺線(xiàn)管，流過(guò)電感器的電流i產(chǎn)生磁場(chǎng)強度H=Ni/l。因此，方程4可以改寫(xiě)為：

方程式6。

這個(gè)版本的方程使相對磁導率和磁滯損耗之間的關(guān)系更加清晰。

由于溫度的升高會(huì )增加原子的隨機熱運動(dòng)，這往往會(huì )使磁疇隨機化，因此許多材料的相對磁導率會(huì )隨著(zhù)溫度的升高而降低。如方程式6所示，對于這些材料類(lèi)型，磁滯損耗隨溫度降低。

示例2：計算螺線(xiàn)管的磁滯損耗

考慮具有以下特征的電磁閥：

總共10圈（N=10）。

橫截面積為100平方毫米（Ac=100平方毫米）。

長(cháng)度為10厘米（lc=10厘米）。

假設該螺線(xiàn)管的鐵芯μr=2000，并呈現矩形磁滯曲線(xiàn)。如果施加的電流為

 I = 0.5sin(2π × 105 × t)

讓我們計算磁滯損耗和損耗的等效串聯(lián)電阻。

由于滯后曲線(xiàn)是矩形的，我們可以應用方程式6。首先，我們來(lái)計算核心的體積：

方程式7。

然后，我們將這些值代入方程式6，得出：

方程式8。

為了找到產(chǎn)生與磁滯效應相同功率損耗的等效串聯(lián)電阻，我們找到了當振幅為0.5A的正弦電流通過(guò)時(shí)耗散25.13W的電阻：

方程式9。

這種串聯(lián)電阻消耗的功率與鐵芯的磁滯效應相同。然而，正如我們將在本文稍后討論的那樣，鐵芯損耗通常被建模為與結構電感并聯(lián)的電阻。

斯坦梅茨方程

如果我們假設B-H曲線(xiàn)是平行四邊形或矩形，我們發(fā)現磁滯損耗遵循方程5所示的一般形式。然而，經(jīng)驗數據表明，磁滯損耗密度實(shí)際上由下式給出：

方程式10。

其中n是Steinmetz指數，以美國數學(xué)家和電氣工程師Charles Proteus Steinmetz的名字命名。根據經(jīng)驗得出的n值在約1.6至3的范圍內。它取決于材料特性，通常針對特定范圍的通量密度值給出。

但是為什么Steinmetz方程表明能量損失與（Bm）n成正比，而不是與（Bm）2成正比？在推導方程4時(shí)，我們假設滯后曲線(xiàn)的形狀不隨施加的信號電平而變化。在實(shí)際操作中，情況通常并非如此。圖3顯示了當我們逐漸增加激勵信號的幅度時(shí)鐵磁材料的磁化。

用于不斷增長(cháng)的激勵信號的滯后回路。

圖3。用于不斷增長(cháng)的激勵信號的滯后回路。

我們可以看到，磁滯回線(xiàn)的大小和形狀都會(huì )隨著(zhù)施加磁場(chǎng)的大小而變化。此外，通量密度Bm的峰值不隨Hm線(xiàn)性增加。Steinmetz方程使用經(jīng)驗確定的冪指數來(lái)解釋這些影響。

示例3：使用Steinmetz磁滯損耗方程

當最大磁通密度為Bm1=1.5T，頻率為f1=50Hz時(shí)，磁性材料的磁滯功率損耗密度為ph1=13750W/m3。如果Steinmetz方程中的功率指數n=1.6，那么在f2=40 Hz時(shí)，Bm2=1 T的功率損耗密度是多少？

設新的功率損耗密度為ph2。根據方程式10，我們對兩個(gè)實(shí)驗有以下關(guān)系：

方程式11。

插入上面給出的值，我們得到：

方程式12。

在我們離開(kāi)這個(gè)話(huà)題之前，我想提幾件事。首先，B-H環(huán)路的面積——以及由此延伸的磁滯損耗——可能會(huì )隨著(zhù)頻率的增加而增加。為了考慮這種影響，上述方程中的頻率（f）可以用fa代替，其中a大于1。

其次，可以指定Steinmetz方程的參數來(lái)解釋總鐵芯損耗，其中包括渦流和磁滯的損耗。在這種情況下，功率損耗密度方程為：

方程式13。

我們將在下一篇文章中更詳細地討論渦流損耗。

將鐵芯損耗建模為并聯(lián)電阻

注意到?=BA和i=Hl/N，我們可以重新縮放B-H曲線(xiàn)以獲得巖芯的981'-i曲線(xiàn)。對于沒(méi)有磁滯的B-H特性，由于B-H曲線(xiàn)的非線(xiàn)性，鐵芯中的正弦磁通量是由非正弦電流產(chǎn)生的。如圖4所示。

（a） 無(wú)磁滯鐵芯的磁化曲線(xiàn)。（b） 鐵芯的磁通量和磁化電流波形。

圖4。（a） 磁化曲線(xiàn)和（b）無(wú)磁滯效應時(shí)的磁通量和磁化電流波形。

非正弦電流與磁通同相，具有對稱(chēng)的上升和下降。電流波形的基波分量滯后電感器兩端的電壓90度，這對應于理想的無(wú)損電感器。因為我們一開(kāi)始假設鐵芯沒(méi)有滯后，所以這并不奇怪——沒(méi)有滯后損耗，繞組和鐵芯一起起著(zhù)電感器的作用。

如圖5所示，考慮磁滯效應會(huì )導致電流波形具有不對稱(chēng)的上升和下降。

（a） 磁滯鐵芯的磁化曲線(xiàn)。（b） 鐵芯的磁通量和磁化電流波形。

圖5。（a） 磁化曲線(xiàn)和（b）存在磁滯效應時(shí)的磁通量和磁化電流波形。

如您所見(jiàn)，在具有磁滯的鐵芯中保持正弦磁通量需要非正弦、不對稱(chēng)的電流。該電流可分為兩個(gè)不同的分量：

Im，與理想的無(wú)損情況一樣，與通量同相。

Ic與電感器兩端的電壓同相。

Im使電感器兩端的電壓滯后90度，產(chǎn)生電感項。然而，Ic產(chǎn)生電阻項。由于總電流（I?）是這兩個(gè)分量的總和，因此繞組和鐵芯組合的等效電路是一個(gè)與電阻并聯(lián)的電感器，其中電阻模擬磁滯損耗（圖6）。

用于模擬鐵芯損耗的并聯(lián)電阻。

圖6。并聯(lián)電阻可用于模擬鐵芯損耗。

一般來(lái)說(shuō)，并聯(lián)電阻（RC）可以解釋磁滯損耗和渦流損耗。同樣，我們通常通過(guò)與初級繞組并聯(lián)的頻率相關(guān)電阻來(lái)模擬變壓器的鐵芯損耗。

總結

在這篇文章和前一篇文章中，我們討論了磁芯中的磁滯損耗。下次，我們將仔細研究渦流損耗。鑒于本系列早期的一篇文章討論了渦流對磁芯的影響，我們現在將把注意力轉向原因、分析和緩解策略。