基于 MATLAB 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成圖形的動(dòng)態(tài)演示

0 引言

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成是力學(xué)的主要內容之一，在大學(xué)物理的學(xué)習中已經(jīng)對多個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成進(jìn)行了較為詳細的討論，但研究?jì)H局限于兩、三個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)在一、二維坐標中的合成情況，三維無(wú)法體現。利用MATLAB 繪出多不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)在一、二及三維坐標中合成的波形及軌跡， 并依據這些波形與軌跡， 探討多個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成規律。

1 研究意義

利用MATLAB GUI 軟件的制作，對一維、二維及三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的授課方式及仿真實(shí)驗提供了新的方法。在傳統教學(xué)的過(guò)程當中，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成通過(guò)示波器來(lái)觀(guān)察，其合成圖像往往與理論值有較大偏差，其主要存在的問(wèn)題有以下幾個(gè)方面：

1.1 課堂時(shí)間緊迫，圖像合成演示的直觀(guān)顯示多要在實(shí)驗課當中進(jìn)行操作，不利于學(xué)習的及時(shí)記憶和直觀(guān)了解。

1.2 電路布線(xiàn)不合理引起的交叉干擾、電感漏磁容易引起合成圖像失真。

1.3 示波器無(wú)法合成及演示三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成圖像。

1.4 示波器探頭種類(lèi)繁多，對于精確的理論圖形的演示難以企及，且探頭可提供測試需要的保真度往往較低。

1.5 對于簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的計算比較復雜，示波器無(wú)法高精度的實(shí)現圖形的模擬合成。

針對以上問(wèn)題制作的MATLAB GUI 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的程序，能幫助授課教師在課堂上直觀(guān)的演示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，直觀(guān)對比理論測量與實(shí)際測量。

2 基本原理

2.1 一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成原理

2.1.1 多個(gè)一維同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

設質(zhì)點(diǎn)在x 方向上同時(shí)參與n 個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為：

分別為和振動(dòng)的振幅和初相位，由(1)式可知多個(gè)一維同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)可合成為一個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其軌跡是余弦(或正弦)曲線(xiàn)。利用MATLAB 進(jìn)行合成演示，上述推證可得到證實(shí)。

2.1.2 多個(gè)一維不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

一般情況下，多個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是復雜的運動(dòng)。利用MATLAB 進(jìn)一步研究可知，多個(gè)一維頻率比為有理數簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)雖然復雜但具有周期性，而多個(gè)一維頻率比為無(wú)理數簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)則既復雜又無(wú)周期性。

由圖1 可知，多個(gè)一維同振幅、同相位頻率相差不大簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，其結果形成多個(gè)大小不一的拍。進(jìn)一步研究可知，多個(gè)一維同振幅、同相位頻率相差不大簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)是這些簡(jiǎn)諧振動(dòng)兩兩合成的幅度減小的拍的疊加，其結果形成n -1個(gè)大小不一的拍--多拍現象。其中，主拍的拍幅很大(為單個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅的n 倍)，而次拍的拍幅則比較小。

2.2 二維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成-李薩茹圖形

2.2.1 相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

當一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)不同方向的振動(dòng)時(shí)，一般情況下質(zhì)點(diǎn)將做平面曲線(xiàn)運動(dòng)，其運動(dòng)軌跡的形狀將由兩個(gè)分振動(dòng)的周期、振幅和它們的相位差決定。沿兩個(gè)振動(dòng)的方向分別建立x,y 軸，并以質(zhì)點(diǎn)的平衡位置作為坐標原點(diǎn)，則這兩個(gè)分振動(dòng)可分別表示為：

在t 時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位置可由坐標x,y 確定。上述方程是以時(shí)間t 作為參變量的運動(dòng)軌跡的參數方程，從中消去t ,便得軌跡方程：

此式是橢圓方程，它表示兩個(gè)相互垂直且同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的軌跡是橢圓。隨著(zhù)相位差值的不同，合成橢圓的形狀也不同。

2.2.2 相互垂直不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

如果兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)頻率不相同，它們的合運動(dòng)比較復雜，若隨意選取兩種分振動(dòng)，可以看到合成軌跡是不穩定的，而且沒(méi)有規律可循。

(1)兩振動(dòng)的頻率有很小的差異，可近似看成同頻率振動(dòng)的合成，不過(guò)相位差在緩慢地變化，在范圍內由直線(xiàn)變成橢圓再變成直線(xiàn)等。