小波的秘密1-小波變換概況與綜述

　　1.有了Fourier，為什么還需要Wavelet?

　　先來(lái)揭揭短：

　　(1)Fourier分析不能刻畫(huà)時(shí)間域上信號的局部特性。

　　(2)Fourier分析對突變和非平穩信號的效果不好，沒(méi)有時(shí)頻分析。

　　傅立葉變換將函數投影到正弦波上，將函數分解成了不同頻率的正弦波，這不能不說(shuō)是一個(gè)偉大的發(fā)現，但是在大量的應用中，傅立葉變換的局限性卻日趨明顯，事實(shí)上在光滑平穩信號的表示中，傅立葉基已經(jīng)達到了近似最優(yōu)表示，但是日常生活中的信號卻并不是一直光滑的，而且奇異是平凡的，傅立葉在奇異點(diǎn)的表現就著(zhù)實(shí)讓人不爽，從方波的傅立葉逼近就可以看出來(lái)，用了大量不同頻率的三角波去逼近其系數衰減程度相當緩慢，而且會(huì )產(chǎn)生Gibbs效應。其內在的原因是其基為全局性基，沒(méi)有局部?jì)?yōu)化能力，以至局部一個(gè)小小的擺動(dòng)也會(huì )影響全局的系數。實(shí)際應用中很需要時(shí)頻局部化，傅立葉顯然缺乏此能力了。即使如此，由于其鮮明的物理意義和快速計算，在很多場(chǎng)合仍然應用廣泛。傅立葉變換在從連續到離散的情形是值得借鑒與學(xué)習的，大家都知道，時(shí)間周期對應頻域離散，時(shí)間離散對應頻域周期，時(shí)間離散周期對應頻域離散周期，DFT其實(shí)是將離散信號做周期延拓然后做傅立葉變換再截取一個(gè)周期，反變換同樣如此，所以DFT用的是塊基的概念，這樣如果信號兩端的信號連接后不再光滑(即使兩邊都光滑)，同樣會(huì )在邊界上產(chǎn)生大幅值系數(邊界效應)，延伸到圖像中就是塊效應。當對信號做對稱(chēng)周期延拓后再做傅立葉變換得到的正弦系數全部為0，也就是任何對稱(chēng)函數可以寫(xiě)成余弦的線(xiàn)性組合，同樣按照離散的思路構造得到的是離散塊余弦基，即DCT變換，雖然DCT可以通過(guò)對稱(chēng)后周期延拓再變換減少了邊界效應(兩邊信號接上了，但不一定平滑)，但也不能消除塊效應，尤其是圖像變換中人為將圖像分成8*8處理后塊效應更加明顯。但是DCT很好的能量聚集效應讓人驚奇，加之快速計算方法使它替代DFT成為圖像的壓縮的標準了很長(cháng)時(shí)間(JPEG)。

　　閑扯了這么多，不要迷糊，開(kāi)始上圖：

　　第一個(gè)就是傅立葉變換是整個(gè)時(shí)域，所以沒(méi)有局部特征。這是由基函數決定的，同時(shí)如果在時(shí)域發(fā)生突變，那么在頻域就需要大量的正弦波去擬合，這也是傅立葉變換性質(zhì)決定的。

　　第二個(gè)就是面對非平穩信號，傅立葉變換可以看到由哪些頻率組成，但不知道各成分對應的時(shí)刻是什么。也就是沒(méi)有時(shí)頻分析，看不出來(lái)信號頻域隨著(zhù)時(shí)間變換的情況，反過(guò)來(lái)說(shuō)就是，一個(gè)的頻圖對應好幾個(gè)時(shí)域圖，不知道是哪個(gè)，這個(gè)在實(shí)際應用中就不方便了，如圖：

　　如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩信號。而下邊兩個(gè)則是頻率隨著(zhù)時(shí)間改變的非平穩信號，它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個(gè)成分。做FFT后，我們發(fā)現這三個(gè)時(shí)域上有巨大差異的信號，頻譜(幅值譜)卻非常一致。尤其是下邊兩個(gè)非平穩信號，我們從頻譜上無(wú)法區分它們，因為它們包含的四個(gè)頻率的信號的成分確實(shí)是一樣的，只是出現的先后順序不同(時(shí)間分辨性太差)。

　　可見(jiàn)，傅里葉變換處理非平穩信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現的時(shí)刻并無(wú)所知。因此時(shí)域相差很大的兩個(gè)信號，可能頻譜圖一樣。

　　然而平穩信號大多是人為制造出來(lái)的，自然界的大量信號幾乎都是非平穩的，所以在比如生物醫學(xué)信號分析等領(lǐng)域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。

　　上圖所示的是一個(gè)正常人的心電相關(guān)電位。對于這樣的非平穩信號，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道各個(gè)成分出現的時(shí)間。知道信號頻率隨時(shí)間變化的情況，各個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)頻率及其幅值——時(shí)頻聯(lián)合分析

　　2.預備知識：何為基?何為內積?

　　2.1 基

　　傅立葉變換和小波變換，都會(huì )聽(tīng)到分解和重構，其中這個(gè)就是根本，因為他們的變化都是將信號看成由若干個(gè)東西組成的，而且這些東西能夠處理還原成比原來(lái)更好的信號。那怎么分解呢?那就需要一個(gè)分解的量，也就是常說(shuō)的基，基的了解可以類(lèi)比向量，向量空間的一個(gè)向量可以分解在x，y方向，同時(shí)在各個(gè)方向定義單位向量e1、e2，這樣任意一個(gè)向量都可以表示為a=xe1+ye2，這個(gè)是二維空間的基：

　　而FT的基是不同頻率的正弦曲線(xiàn)(整個(gè)時(shí)間)，所以FT是把信號波分解成不同頻率的正弦波的疊加和：而對于小波變換就是把一個(gè)信號分解成一系列的小波(短時(shí)間)，也許就會(huì )問(wèn)，小波變換的小波是什么啊，定義中就是告訴我們小波，因為這個(gè)小波實(shí)在是太多，一個(gè)是種類(lèi)多，還有就是同一種小波還可以尺度變換，但是小波在整個(gè)時(shí)間范圍的幅度平均值是0，具有有限的持續時(shí)間和突變的頻率和振幅，可以是不規則，也可以是不對稱(chēng),很明顯正弦波就不是小波，什么的是呢，看下面幾個(gè)圖就是：

　　有了基，有什么用呢?下面看一個(gè)傅立葉變換的實(shí)例：

　　對于一個(gè)信號的表達式為x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t); 下面看圖形表示，感受一下頻域變換給人的一目了然：

　　基具有非冗余性，即使基不是正交的，有相關(guān)性，但若去掉其中任何一個(gè)，則不成為基，這一點(diǎn)也叫完備性;基的表示有唯一性，即給定一族基對一個(gè)函數的表達是唯一的;一般情況下基非正交，也稱(chēng)為為exact frame(Resize basis)，這個(gè)時(shí)候要表示信號可以將基正交化成唯一的正交基(對偶為其自身);也可以求其對偶框架(dual frame)，其對應了小波變換中的雙正交情形!信號可以依框架分解，然后用對偶框架重構。若在基集里添加一些新的向量，并隨意調整空間位置，則有可能成為框架。把函數與基或框架作內積，也可以說(shuō)成是一種函數空間到系數空間的變換。若某種變換后的能量(內積的平方和度量)仍然有一個(gè)大于0的上下界，才可以成為框架，由于框架的冗余性，所以系數的表達也不具有唯一性。若上下界相等，則為緊框架，且界表示冗余度。若上下界相等為且為1，稱(chēng)為pasval identity frame，此時(shí)不一定為正交基，此時(shí)若加上基的長(cháng)度均為一的條件，則框架退化為正交基?？赡苣銜?huì )問(wèn)我們用基來(lái)表示信號就行了啊，為什么還要框架呢?其實(shí)很多信號表示方法不能構成基，卻能構成框架，如短時(shí)傅立葉變換中如要求窗函數滿(mǎn)足基條件，則可推出該函數有很差的時(shí)頻局部化性質(zhì)(事實(shí)上退化為了傅立葉變換)

　　2.2 內積

　　如果兩個(gè)向量的內積為0 ，就說(shuō)他們是正交的。

　　如果一個(gè)向量序列相互對偶正交，并且長(cháng)度都為1，那么就說(shuō)他們是正交歸一化的。

　　3.小波誕生的前一個(gè)晚上：短時(shí)傅里葉變換(STFT)

　　有了缺點(diǎn)當然就想著(zhù)改進(jìn)了，這就出來(lái)了短時(shí)傅立葉變換，也叫加窗傅立葉變換，顧名思義，就是因為傅立葉變換的時(shí)域太長(cháng)了，所以要弄短一點(diǎn)，這樣就有了局部性。

　　定義：把整個(gè)時(shí)域過(guò)程分解成無(wú)數個(gè)等長(cháng)的小過(guò)程，每個(gè)小過(guò)程近似平穩，再傅里葉變換，就知道在哪個(gè)時(shí)間點(diǎn)上出現了什么頻率了。”這就是短時(shí)傅里葉變換。下面就是示意圖

　　時(shí)域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨著(zhù)時(shí)間的變化情況了嗎!

　　可能理解這一點(diǎn)最好的方式是舉例子。首先，因為我們的變換是對時(shí)間和頻率的函數(不像傅立葉變換，僅僅是對頻率的函數)，它是二維的(如果加上幅度則是三維)。以下圖所示的非平穩信號為例：

　　在這個(gè)信號中，在不同時(shí)刻有四個(gè)頻率分量。0-250ms內信號的頻率為100Hz，其余每個(gè)250ms的間隔的信號頻率分別為50Hz，25Hz和10Hz。很明顯，這是一個(gè)非平穩信號，讓我們看一看它的短時(shí)傅立葉變換：用這樣的方法，可以得到一個(gè)信號的時(shí)頻圖了：

　　既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四個(gè)頻域成分，還能看到出現的時(shí)間。兩排峰是對稱(chēng)的，只用看一排就行。這貌似解決了問(wèn)題，好像有了加窗技術(shù)，整個(gè)世界都亮了。沒(méi)有那么簡(jiǎn)單的，面對一個(gè)隨機的非平穩信號，那么這個(gè)窗要多大了呢?(此時(shí)加窗傅里葉變換一臉的懵逼)

　　窗太窄，窗內的信號太短，會(huì )導致頻率分析不夠精準，頻率分辨率差。

　　窗太寬，時(shí)域上又不夠精細，時(shí)間分辨率低。

　　下面通過(guò)一組實(shí)驗，我們深入探索這種加窗技術(shù)，問(wèn)題出現在哪里?

　　上圖對同一個(gè)信號(4個(gè)頻率成分)采用不同寬度的窗做STFT，結果如右圖。用窄窗，時(shí)頻圖在時(shí)間軸上分辨率很高，幾個(gè)峰基本成矩形，而用寬窗則變成了綿延的矮山。但是頻率軸上，窄窗明顯不如下邊兩個(gè)寬窗精確。所以窄窗口時(shí)間分辨率高、頻率分辨率低，寬窗口時(shí)間分辨率低、頻率分辨率高。對于時(shí)變的非穩態(tài)信號，高頻適合小窗口，低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中寬度不會(huì )變化，所以STFT還是無(wú)法滿(mǎn)足非穩態(tài)信號變化的頻率的需求。

　　4.小波來(lái)了

　　時(shí)勢造英雄，小波開(kāi)始一展拳腳了!

　　對于加窗傅立葉變換讓人頭疼的就是窗口的大小問(wèn)題，如果我們讓窗口的大小可以改變，不就完美了嗎?答案是肯定的，小波就是基于這個(gè)思路，但是不同的是。STFT是給信號加窗，分段做FFT;而小波變換并沒(méi)有采用窗的思想，更沒(méi)有做傅里葉變換。小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無(wú)限長(cháng)的三角函數基換成了有限長(cháng)的會(huì )衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時(shí)間了~

　　就又回到了最開(kāi)始的基了。

　　小波變換采用的這些基函數會(huì )伸縮、會(huì )平移(其實(shí)是兩個(gè)正交基的分解)?？s得窄，對應高頻;伸得寬，對應低頻。然后這個(gè)基函數不斷和信號做相乘。某一個(gè)尺度(寬窄)下乘出來(lái)的結果，就可以理解成信號所包含的當前尺度對應頻率成分有多少。于是，基函數會(huì )在某些尺度下，與信號相乘得到一個(gè)很大的值，因為此時(shí)二者有一種重合關(guān)系。那么我們就知道信號包含該頻率的成分的多少。如前文所述，小波做的改變就在于，將無(wú)限長(cháng)的正弦函數基換成了有限長(cháng)的會(huì )衰減的小波基。效果如下圖：

　　從公式可以看出，不同于傅里葉變換，變量只有頻率ω，小波變換有兩個(gè)變量：尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函數的伸縮，平移量 τ控制小波函數的平移。尺度就對應于頻率(反比)，平移量 τ就對應于時(shí)間。如下圖

　　當伸縮、平移到這么一種重合情況時(shí)，也會(huì )相乘得到一個(gè)大的值。這時(shí)候和傅里葉變換不同的是，這不僅可以知道信號有這樣頻率的成分，而且知道它在時(shí)域上存在的具體位置。而當我們在每個(gè)尺度下都平移著(zhù)和信號乘過(guò)一遍后，我們就知道信號在每個(gè)位置都包含哪些頻率成分?？吹搅藛?有了小波，我們從此再也不害怕非穩定信號啦!從此可以做時(shí)頻分析啦!

　　3.1解決了局部性

　　3.2解決時(shí)頻分析

　　時(shí)域信號 FFT變換 小波分析

　　有了這些，小波分析也就入門(mén)了。

　　感謝大連理工大學(xué)機械工程碩士小木匠的出色工作。

　　感謝杜克大學(xué)方圓之中對STFT的現狀所做的科普工作。