基于FPGA的24點(diǎn)離散傅里葉變換結構設計

摘要 基于Good—Thomas映射算法和ISE快速傅里葉變換IP核，設計了一種易于FPGA實(shí)現的24點(diǎn)離散傅里葉變換，所設計的24點(diǎn)DFT模塊采用流水線(xiàn)結構，主要由3個(gè)8點(diǎn)FFT模塊和1個(gè)3點(diǎn)DFT模塊級聯(lián)而成，并且兩級運算之間不需要旋轉因子，整個(gè)DFT模塊僅僅需要14個(gè)實(shí)數乘法器，布局布線(xiàn)后仿真工作時(shí)鐘頻率可達200 MHz。首先根據Good—Thomas算法將并行的24路輸入信號分成3組，每組8路信號，并進(jìn)行并／串轉換，得到3路串行信號；其次，將3路串行信號分別輸入至3個(gè)FFT IP核模塊進(jìn)行8點(diǎn)FFT運算；然后，將上述3個(gè)FFT IP核模塊同一時(shí)刻輸出的3路信號進(jìn)行3點(diǎn)DFT變換；最后，將得到的3路并行輸出信號分別進(jìn)行串／并轉換，得到24路DFT輸出信號。此外，設計的24點(diǎn)DFT結構還具有很好的擴展性，通過(guò)修改FFT IP核變換點(diǎn)數參數便可實(shí)現長(cháng)度N=3×2n點(diǎn)DFT。
關(guān)鍵詞 24點(diǎn)DFT；FPGA；Good—Thomas映射算法；FFT IP核

由于具有高集成度、高速、可編程等優(yōu)點(diǎn)，現場(chǎng)可編程門(mén)陣列(Field Programmable Gate Array，FPGA)已經(jīng)廣泛用于多種高速信號實(shí)時(shí)處理領(lǐng)域中。離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)，尤其對應的快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，FFT)，是數字信號處理中的一種基本變換?；贔PGA的FFT設計和實(shí)現是眾多應用中的一個(gè)重要環(huán)節，是眾多FPGA芯片廠(chǎng)商和研究工作者一直致力研究的內容。
目前，Altera和Xilinx公司都提供了可塑性很強的FFT IP核，只要改動(dòng)相應的參數設置，就可以應用于不同產(chǎn)品中。國內不少大學(xué)及研究所也已經(jīng)采用FPGA芯片設計開(kāi)發(fā)具有自主知識產(chǎn)權的FFT。然而，目前絕大多數基于FPGA的FFT主要采用Cooley—Tukey映射算法實(shí)現基2和基4結構的點(diǎn)FFT。這在實(shí)際應用中存在以下問(wèn)題：1)某些場(chǎng)合中所采用的DFT變換點(diǎn)數不一定滿(mǎn)足，例如24點(diǎn)、48點(diǎn)等DFT無(wú)法采用上述FFT結構實(shí)現；2)采用Cooley—Tukey映射算法將高點(diǎn)數的DFT分解成若干個(gè)低點(diǎn)數DFT過(guò)程中，采用多級流水線(xiàn)結構實(shí)現FFT，但每一級輸出結果需要乘以相應旋轉因子后再進(jìn)入下一級運算，從而增加了復數乘法器資源的使用。
以Xilinx公司Virtex IV芯片為硬件平臺，結合Xilinx公司ISE10．1軟件提供的FFT IP核，提出一種適合FPGA實(shí)現的基于Good-Thomas算法的24點(diǎn)DFT結構。相對于已有的FFT結構，設計的DFT結構不僅能夠充分利用FFT IP核優(yōu)良特性，還能大大節約復數乘法器資源的使用。同時(shí)，該結構還能擴展至變換長(cháng)度N滿(mǎn)足N=3×2n的DFT。

1 24點(diǎn)DFT實(shí)現原理
1．1 Good—Thomas映射算法
基于Cooley—Tukey映射算法和Good-Thomas映射算法的FFT均可以將長(cháng)度為N=N1N2的DFT分解成N2個(gè)N1點(diǎn)DFT和N1個(gè)N2點(diǎn)DFT級聯(lián)的形式。尤其基于Cooley—Tukey映射的FFT是最為通用的FFT算法，能夠適應于任意N1和N2長(cháng)度下的DFT。相對基于Cooley-Tukey映射的FFT，基于Good —Thomas映射的FFT只能適應于N1和N2互質(zhì)情況下的DFT，但N1點(diǎn)DFT與N2點(diǎn)DFT之間的中間結果不需要采用旋轉因子進(jìn)行調制，從而能夠大幅節約復數乘法器的使用。
假設輸入序列x(n)長(cháng)度為N=N1N2，其中N1和N2互質(zhì)，則基于Good—Thomas映射的FFT實(shí)現步驟如下：

從以上步驟可以看出，基于Good—Thomas映射的FFT，雖然與基于Cooley—Tukey映射的FFT實(shí)現原理相似，但輸入／輸出索引映射不同，而且沒(méi)有旋轉因子。