基于FPGA的數字信號處理--什么是定點(diǎn)數？
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在實(shí)際的工程應用中，往往會(huì )進(jìn)行大量的數學(xué)運算。運算時(shí)除了會(huì )用到整數，很多時(shí)候也會(huì )用到小數。而我們知道在數字電路底層，只有「高電平1」和「低電平0」的存在，那么僅憑 0和1 該如何表示小數呢？
本文引用地址：http://dyxdggzs.com/article/202405/458588.htm數字電路中，小數可以用兩種形式來(lái)表示：「定點(diǎn)數」和「浮點(diǎn)數」。浮點(diǎn)數的內容我們下篇文章再講，本文只講定點(diǎn)數。
什么是定點(diǎn)數？
首先要明確的是，「定點(diǎn)數」的說(shuō)法是相對「浮點(diǎn)數」來(lái)說(shuō)的。要理解什么是定點(diǎn)數，可以先從要理解它的名字開(kāi)始–定是什么？點(diǎn)又是什么？
「定點(diǎn)數」是英語(yǔ)「fixed-point number」的中文翻譯，fixed的意思是固定的，point的意思是小數點(diǎn)，所以「定點(diǎn)數」其實(shí)也可以叫「固定小數點(diǎn)的數」。同樣的，「浮點(diǎn)數」自然就是「浮動(dòng)小數點(diǎn)的數」。
在10進(jìn)制中，小數的表示是通過(guò)小數點(diǎn)和它所在位置來(lái)實(shí)現的。比如12.5，它表示的值是十二點(diǎn)五；而1.25則是一點(diǎn)二五。盡管12.5和1.25都用了「1 2 5」這3個(gè)數來(lái)表示，但由于小數點(diǎn)位置的不同，使得前者的數值是后者的十倍。
遺憾的是，電路只能表示1和0，無(wú)法直接表示小數點(diǎn)，所以上面的方法在電路中是行不通的。
假如你現在收到一條信息「我傳一個(gè)小數過(guò)來(lái)，10100111」，看到這樣一條信息，你恐怕只會(huì )覺(jué)得莫名其妙！10100111是哪門(mén)子小數？慢著(zhù)，10100111如果直接轉換成10進(jìn)制數就是167，167當然不是小數，因為它沒(méi)有小數點(diǎn)。但是仔細想想？它真的沒(méi)有小數點(diǎn)嗎？如果把167看做是167.0呢？也就是默認它的小數點(diǎn)是在最右邊呢？
接著(zhù)你很快又收到了第二條信息「我再傳一個(gè)小數過(guò)來(lái)，10100111，它的小數點(diǎn)在從右往左數第1位」。這次你終于能看懂了 ，這不就是1010011.1嗎？也就是10進(jìn)制數83.5。那么直接說(shuō)83.5不就完事了嗎？說(shuō)這么多干嗎？
然后是第三條消息「我再傳一個(gè)小數過(guò)來(lái)，10100111，它的小數點(diǎn)在從右往左數第2位」。這次傳的是101001.11，即10進(jìn)制數41.75。
······（省略后面的10086條消息）······
看到這是不是清晰很多了–盡管我們無(wú)法直接用小數點(diǎn)來(lái)表示2進(jìn)制小數，但可以通過(guò)指定小數點(diǎn)的位置來(lái)說(shuō)明這是一個(gè)小數??！
約定小數點(diǎn)的位置，且這個(gè)位置固定不變，小數點(diǎn)前、后的數字，分別用2進(jìn)制表示，組合起來(lái)就可以用來(lái)表示和使用2進(jìn)制小數了。用這種方式表示的數就叫做「定點(diǎn)數」。
定點(diǎn)數如何表示數字？
很容易想到，定點(diǎn)數除了能表示小數外，也可以表示整數。因為你可以把小數點(diǎn)的位置約定在最右面，這樣其實(shí)相當于沒(méi)有小數點(diǎn)，所以表示的都是整數；同樣的，你也可以把小數點(diǎn)規定在最左邊，這樣表示的就是一個(gè)整數部分為0的小數。
所以定點(diǎn)數的表示可以分為三種情況：
純整數
這種情況約定小數點(diǎn)在最右邊。例如10進(jìn)制數85用8位無(wú)符號2進(jìn)制數表示就是0101_0101，因為小數點(diǎn)在最右邊，所以可以看做是0101_0101.0 。
純小數
定點(diǎn)純小數是指整數部分為0的小數。根據是無(wú)符號數還是有符號數，分為兩種情況：
（1）無(wú)符號數
無(wú)符號數的最高位不表示符號，僅表示數值。這種情況約定小數點(diǎn)的位置在最左邊。例如10進(jìn)制數0.125用8位無(wú)符號2進(jìn)制數表示就是0.0010_0000，因為小數點(diǎn)在最左邊，所以是0010_0000。
（2）有符號數
有符號數的最高位表示符號，不表示數值。這種情況約定小數點(diǎn)的位置在次高位。例如10進(jìn)制數-0.125用8位無(wú)符號2進(jìn)制數表示就是1.0010_000，因為小數點(diǎn)在次高位，所以是1010_0000。
整數 + 小數
除了純整數和純小數這兩種情況外，其實(shí)定點(diǎn)數主要是用來(lái)表示 「整數 + 小數」的情況，例如3.14、1.5、25.125等等。這種情況需要確定以下信息才能正確表示該數：
整數和小數的長(cháng)度之和確定了用多大的電路來(lái)表示定點(diǎn)數，而二者的長(cháng)度之比則確定了小數點(diǎn)的位置。符號位則確定了該數是一個(gè)有符號數還是一個(gè)無(wú)符號數。
光說(shuō)不練云玩家，接下來(lái)看幾個(gè)例子。
（1）1.25 的定點(diǎn)數表示
首先約定用無(wú)符號數來(lái)表示，然后約定5 位為整數部分，3 位為小數部分。所以有：
1.25(D) = 1.01(B) = 00001.010 = 000010101
（2）-9.5 的定點(diǎn)數表示
首先需要用有符號數來(lái)表示，因為整數9需要4位來(lái)表示，而小數0.5僅需1位就可表示。為此可以約定5位為整數部分（注意最高位為符號位），3 位為小數部分。所以有：
-9.5(D) = 10110.1(B) = 10110.100 = 101101001
定點(diǎn)數的數值范圍
定點(diǎn)數用來(lái)表示小數很方便，但是它也有個(gè)很大的問(wèn)題–它的表示范圍很小。
以5 位表示整數部分，3 位表示小數部分的無(wú)符號定點(diǎn)數為例，它的整數部分可以表示的范圍是00000-11111，即0-31，步長(cháng)是1；小數部分的范圍是0.000-0.111，即0-0.875，步長(cháng)是0.125。綜合起來(lái)范圍是0-31.875，步長(cháng)為0.125。
有符號數的因為是用補碼表示，所以它的范圍取值比較特殊。以5 位表示整數部分，3 位表示小數部分的有符號定點(diǎn)數為例，它能表示的最小值是10000_000，即-32，它能表示的最大值是01111_111，即15.875。
若以m表示定點(diǎn)數的整數位寬（m不包含符號位），以n表示定點(diǎn)數的小數位寬，則有符號數和無(wú)符號數的定點(diǎn)數的表示范圍為：
| 有符號數 | -2^m ~ （2^m - 2^-n） |
|---|---|
| 無(wú)符號數 | 0 ~ （2^m - 2^-n） |
如果想表示更大范圍、更高精度的值，怎么辦？
一些定點(diǎn)數的表示格式
除了可以用類(lèi)似「以5 位表示整數部分，3 位表示小數部分的無(wú)符號定點(diǎn)數」的語(yǔ)言來(lái)描述定點(diǎn)數的格式外，還有多種定點(diǎn)數的表示格式。常見(jiàn)的有以下幾種：
Q格式（Q notation）
Q格式的一般形式是：
Qm.n
默認情況下，用Q格式描述的都是有符號定點(diǎn)數。其中m表示整數部分的長(cháng)度（這個(gè)值不包括符號位），n表示小數部分的長(cháng)度。所以用Q格式描述的定點(diǎn)數的整體長(cháng)度為：
w = m + n + 1 //整數部分長(cháng)度 + 小數部分長(cháng)度 + 符號位長(cháng)度
例如 「 Q3.12 」描述的是一個(gè)整體長(cháng)度為16位的2進(jìn)制有符號定點(diǎn)數，它的整數部分長(cháng)度是3，而小數部分長(cháng)度是12。根據小數部分的長(cháng)度，可以推斷出分辨率為 2^-12。
在Q前面加一個(gè) U 即可用來(lái)表示無(wú)符號的2進(jìn)制定點(diǎn)數。例如 「 UQ1.15」描述的就是一個(gè)整數部分長(cháng)度為1，小數部分長(cháng)度為15的無(wú)符號的2進(jìn)制定點(diǎn)數。
整數部分的長(cháng)度值和小數點(diǎn)可以被省略，而只描述小數部分的長(cháng)度。例如「 Q12 」描述的就是一個(gè)小數部分長(cháng)度是12的2進(jìn)制有符號定點(diǎn)數，但是它的整體長(cháng)度是不確定的，你可以額外指定整體長(cháng)度，或者說(shuō)整體長(cháng)度就取決于存儲這個(gè)定點(diǎn)數的寄存器。
如果這個(gè)定點(diǎn)數存儲一個(gè)16位的寄存器，那它的值就是：
xxxx . xxxx_xxxx_xxxx
如果這個(gè)定點(diǎn)數存儲一個(gè)32位的寄存器，那它的值就是：
xxxx_xxxx_xxxx_xxxx_xxxx_xxxx . xxxx_xxxx_xxxx
其實(shí)也可以看出來(lái)，這種表示方法就是把它的值乘以 2^-12 。
這種整數長(cháng)度m不包括符號位的Q格式主要是TI公司的DSP在使用，ARM公司也有一種類(lèi)似的Q格式，但是它的整數長(cháng)度m是包含符號位的。表示方式的不同不是什么大不了的事，只要是使用過(guò)程中確定好了就行，為此你甚至也可以自己創(chuàng )造一套定點(diǎn)數表示方式（只要不怕沒(méi)人用就行，嘿嘿）。
S表示法
S表示法的一般形式是：
Sm.n
其中S表示這是一個(gè)有符號的定點(diǎn)數，m表示整數位數（m不包括符號位），n表示小數位數。這種方法其實(shí)跟Q格式很像，只不過(guò)它的表示無(wú)符號定點(diǎn)數的方法不是在前面加 U ，而是去掉 S，像這樣：
m.n
例如「 2.4 」表示的就是一個(gè)整數位數為2，小數位數為4的無(wú)符號定點(diǎn)數。
總結
總的來(lái)說(shuō)，用定點(diǎn)數表示的小數，不僅數值的范圍表示有限，而且其精度也很低。要想解決這 2 個(gè)問(wèn)題，人們就提出了使用「浮點(diǎn)數」的方式表示數字，關(guān)于浮點(diǎn)數的表示方法，我們會(huì )在下一篇文章進(jìn)行講解。
定點(diǎn)數和浮點(diǎn)數都可以表示小數，而定點(diǎn)數的精度固定，表現范圍比較有限；但是，定點(diǎn)數在硬件上比較容易實(shí)現，在實(shí)際的數據算法中，定點(diǎn)數運算效率比浮點(diǎn)數的運算效率高很多，同時(shí)定點(diǎn)數使用的資源也比較少。因此，定點(diǎn)數被廣泛地應用在數字信號處理的各種應用場(chǎng)景中。
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