基于Lagrange算子的成形濾波器設計
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摘要：成形濾波器的設計一直是移動(dòng)通信中的熱門(mén)話(huà)題，它設計的好壞直接影響通訊系統的性能指標。文中介紹了基于lagrange算子的成形濾波器的設計方法，并與窗函數和頻率抽樣設計進(jìn)行了比較。仿真及實(shí)測結果均表明此方法在實(shí)際應用中具有較好的可行性和有效性。
關(guān)鍵詞：lagrange算子；成形濾波器；根升余弦濾波器；WCDMA
引言
在數字通信中，成形濾波器的設計是通信領(lǐng)域中的一個(gè)基本問(wèn)題。其作用是一方面對信號進(jìn)行帶限，另一方面減小碼間干擾，因此頻譜形狀應滿(mǎn)足奈奎斯特準則，頻率響應要滿(mǎn)足升余弦。本文介紹了用lagrange算子來(lái)設計WCDMA上下行鏈路中的成形濾波器。
WCDMA上下行鏈路中的成形濾波器時(shí)域特性和頻域特性
發(fā)射端中的成形濾波器是平方根升余弦濾波器，它是一個(gè)低通濾波器。它是對發(fā)送的數據進(jìn)行成形濾波，在接收端對應的地方也有一個(gè)與之相應的平方根升余弦濾波器。發(fā)送濾波器一般應滿(mǎn)足對頻譜的要求，以限制信號的帶寬。接收濾波器能限制噪聲和減小符號間的干擾。3GPPTS25.104里對成形濾波器作了如下規定。
（1）平方根升余弦滾降的時(shí)域表達式如下：
（2）平方根升余弦滾降的頻率響應特性如下：
（3）滾降系數α和碼片周期Tc
升余弦譜濾波器的滾降系數α定義為
即滾降特性信道的帶寬為fα+ fs=(1+α)fs。其中，fs為碼片速率，fα為滾降帶寬。
隨著(zhù)α的增大，幅度響應在截止頻率處越光滑，沖激響應拖尾幅度衰減越快，ISI(Intersignal Interrupt)減小。因此，理論上α應盡可能大些。但是，實(shí)際中α的確定應使發(fā)送信號的歸一化等效基帶功率譜滿(mǎn)足通信行業(yè)標準規定的頻譜框架要求。在WCDMA中，α取0.22。
由于WCDMA碼片速率為3.84MHz，所以Tc =1/3.846≈0.26042µs。
Lagrange算子法設計濾波器
下面考慮偶對稱(chēng)及濾波器階數為偶數的濾波器
設計：
其中令
則
阻帶能量為
其中
i，k=1，2，…，L/2
濾波器通帶要求在通帶范圍內離散的頻點(diǎn)
上滿(mǎn)足一定的幅度和約束。約束條件
即
因此通帶約束條件滿(mǎn)足如下等式：
其中
使用Lagrange算子設計濾波器的思想：滿(mǎn)足約束條件（10）使阻帶能量最小。得到如下結果：
λ是Lagrange算子。具體求解過(guò)程請參見(jiàn)[2]。
仿真及實(shí)測結果
（1）設計結果
根據具體的專(zhuān)用集成電路要求，取L=64，選擇合適的約束條件：保證通帶平坦度最優(yōu)和通道的3dB帶寬，得到如下的成形濾波器頻譜如圖1所示。
圖1 Lagrange算子濾波與理想濾波頻率響應
濾波器性能指標：
截止頻率1.92MHz
阻帶起始頻率2.342MHz
通帶紋波0.7dB
阻帶抑制81.7dB
（2）采用窗函數和頻率抽樣算法設計的成形濾波器
濾波器性能指標：
截止頻率1.9MHz
阻帶起始頻率2.342MHz
通帶紋波0.7dB
阻帶抑制40.5dB
濾波器性能指標：
截止頻率1.923MHz
阻帶起始頻率2.342MHz
通帶紋波0.2dB
阻帶抑制44dB
圖2 窗函數法
圖3 頻率抽樣法
（3）實(shí)測結果及分析針對WCDMA上行信號，我們設計了一基于ISL5416的成形濾波器：64階，滾降因子0.22，圖4是通過(guò)成形濾波器的星座圖，圖5是成形濾波器的輸出功率譜。
結論
仿真分析表明，相對于窗函數和頻率抽樣法，
圖4 WCDMA星座圖
圖5 功率譜示意圖
基于Lagrange算子得到的成形濾波器具有較準確的通帶和阻帶邊緣頻率，阻帶抑制大的優(yōu)點(diǎn)；實(shí)測結果顯示，采用Lagrange算子能得到滿(mǎn)足WCDMA通信系統需求的成形濾波器。
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