用雙線(xiàn)性變換法設計IIR濾波器

1 IIR濾波器的設計
1．1 雙線(xiàn)性變換法的基本原理
本文中用的是雙線(xiàn)性變換法，因此這里簡(jiǎn)單介紹一下。雙線(xiàn)性變換法的S域與Z域間的變換關(guān)系為：

由式(1)可以看出，z和s之間可以直接代換，由于這是一非線(xiàn)性變換，需考察一下是否能把jΩ映射成單位圓，以及是否能將s域左半平面映射到單位圓內部。
對于5平面上的虛軸jΩ，用s=jΩ代入式(1)得：

可見(jiàn)：
上式表明S平面與Z平面一一單值對應，S平面的虛軸(整個(gè)jΩ)經(jīng)映射后確已成為z平面上的單位圓，但Ω與為非線(xiàn)性關(guān)系，因此，通過(guò)雙線(xiàn)性變換后兩個(gè)濾波器的頻率特性形狀不能保持相同，雙線(xiàn)性變換不存在混迭效應。
對于s域的左半平面，用s=σ+jΩ入式(1)，得到：

此式表明，當σ0，有|z|1，因而s平面的左半平面被映射在單位圓內部，這意味著(zhù)穩定的模擬濾波器經(jīng)雙線(xiàn)性變換可以映射成穩定的數字濾波器。
1．2 IIR濾波器的設計
IIR數字濾波器的設計借助模擬濾波器原型，再將模擬濾波器轉換成數字濾波器，這些過(guò)程已經(jīng)成為一整套成熟的設計程序。模擬濾波器的設計已經(jīng)有了一套相當成熟的方法，它不但有完整的公式，而且還有較為完整的圖表查詢(xún)，因此，充分利用這些已有的資源將會(huì )給數字濾波器的設計帶來(lái)很大的方便。
已知數字低通濾波器的設計要求wp，ws，Rp和As，首先設計一個(gè)等效的模擬濾波器，然后再將它映射為所期望的數字濾波器來(lái)確定H(z)。對這個(gè)過(guò)程所要求的步驟是：
1)選取T并確定模擬頻率：利用設計參數Ωp，Ωs，Rp和As，設計一個(gè)模擬濾波器Ha(s)；這可以利用模擬濾波器的原型來(lái)完成；3)再將(1)代入Ha(s)，求出H(z)。
本文給定數字濾波器特性為：