基于PSO的FIR數字濾波器設計
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由于FIR數字濾波器具有系統穩定，容易實(shí)現線(xiàn)性相位，允許設計多通帶(或多阻帶)以及硬件容易實(shí)現等特點(diǎn)，使得其在數字信號處理中有著(zhù)廣泛的應用。傳統FIR濾波器的設計方法是建立在對理想濾波器頻率特性作某種近似的基礎上進(jìn)行設計的，其中包括窗函數法、頻率采樣法及最佳一致逼近法。窗函數法計算簡(jiǎn)單，但不能很好地折衷過(guò)渡帶與幅頻響應誤差之間的矛盾。頻率采樣法直接從頻域處理，原理簡(jiǎn)單，計算也不復雜，但不易精確確定其通帶和阻帶的邊緣頻率，并且使用傳統的查表法，不能保證數據最優(yōu)。最佳一致逼近法著(zhù)眼于整個(gè)區間內的總誤差為最小，但并不一定能保證在每個(gè)局部誤差都最小。近年來(lái)許多學(xué)者將先進(jìn)方法用于FIR濾波器優(yōu)化設計，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )法和遺傳算法等。這些算法具備一定的有效性，但存在理論復雜，收斂速度慢，容易早熟收斂等不足。在此，提出一種改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法(IMPSO)的FIR濾波器設計方法。該方法計算量小，整定時(shí)間短，并能有效克服早熟收斂的問(wèn)題。
1 引入粒子聚合度的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法
1．1 粒子群優(yōu)化算法(PSO)
PSO算法是美國Kennedy和Eberhart受鳥(niǎo)群覓食行為的啟發(fā)，于1995年提出的。該算法的思想是通過(guò)種群粒子間的合作與競爭，產(chǎn)生群體智能指導優(yōu)化搜索。PSO算法可用式(1)表示。
式中：vidk是粒子i在第k次迭代中第d維速度；xidk是粒子i在第k次迭代中第d維的位置；ω是慣性權值系數；pbestidk，是粒子i在第k次迭代中第d維個(gè)體極值點(diǎn)的位置(即個(gè)體最優(yōu))；gbestdk是整個(gè)種群在第k次迭代中第d維全局極值點(diǎn)的位置(即全局最優(yōu))；r1，r2是[0，1]之間的隨機數；c1，c2是加速系數，或稱(chēng)學(xué)習因子。
1．2 帶粒子聚合度的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法
由式(1)可知，如果粒子的當前位置在gbest，此時(shí)個(gè)體極值點(diǎn)與全局極值點(diǎn)為同一點(diǎn)，即pbest與gbest相同。這時(shí)粒子速度若等于零，則種群的粒子將會(huì )出現進(jìn)化停滯，算法只能收斂到種群目前尋找到的最優(yōu)解gbest。假如這時(shí)gbest對應的只是一個(gè)局部最優(yōu)解，那么算法就出現了早熟收斂現象。
針對PSO算法存在早熟和局部收斂的問(wèn)題，在基本PSO的基礎上，加入粒子聚合度n和一個(gè)線(xiàn)性遞減的慣性權值系數ω，對PSO算法進(jìn)行改進(jìn)。
聚合度n是用來(lái)反映粒子群聚集程度的一個(gè)系數。當粒子群出現高度聚集，進(jìn)化停滯時(shí)，n隨迭代次數遞增；當n大于一個(gè)閾值λ(此閾值根據具體情況選擇)時(shí)，對粒子進(jìn)行變異，使變異粒子跳離當前位置，進(jìn)入其他區域。在其后的搜索中，算法有新的個(gè)體極值pbest和全局極值gbest，從而跳出局部收斂。多次循環(huán)迭代后，就能找到全局最優(yōu)。
改進(jìn)的算法可用式(2)和式(3)表示：
式(2)中rand是[0，1]間的隨機數：
式中：max Xd和min Xd分別是粒子在d維空間上的最大值和最小值。
慣性權值系數叫決定控制算法的收斂特性，當ω較大時(shí)，全局搜索能力強；當ω較小時(shí)，局部搜索能力強。文獻[6]通過(guò)大量實(shí)驗證明，如果ω隨算法迭代的進(jìn)行而線(xiàn)性減小，將顯著(zhù)改善算法的收斂性能。在此，?。?/p>
式中：(ωmax為最大慣性權值系數；ωmin為最小慣性權值系數；k為迭代次數；ksum為迭代總數。
2 用IMPSO設計FIR數字濾波器
2．1 FIR數字濾波器分析
N階FIR數字濾波器的單位抽樣響應為k(0)，k(1)，…，k(N-1)，其傳遞函數可表示為：
取z=ejω，可得到數字濾波器的頻率響應為：
如果設計FIR數字濾波器的理想頻率響應為Hd(ejω)，則設計濾波器與理想FIR濾波器的誤差e可通過(guò)對兩濾波器的幅度在一定量的離散點(diǎn)上的誤差平方和來(lái)表示，即取M個(gè)離散點(diǎn)時(shí)：
由式(7)容易知得，誤差e是濾波器N個(gè)系數h(n)(n=0，1，…，N-1)的函數。對FIR濾波器的設計，就要選取合適的濾波器系數h(n)，使誤差e最小。顯然，h(n)的選取是一個(gè)組合優(yōu)化問(wèn)題，因此可通過(guò)優(yōu)化算法求解濾波器系數h(n)，實(shí)現FIR設計。
2．2 適應度函數
IMPSO通過(guò)適應度函數來(lái)確定粒子當前位置的優(yōu)劣，因此選式(7)作為優(yōu)化設計FIR數字濾波器的適應度函數。即：
顯然，Fithess函數值越小，則對應濾波器的幅度均方誤差就越小，該粒子就對應更佳的濾波器系數。算法結束后，適應度最小的粒子所代表的參數值就是濾波器的最優(yōu)系數。
2．3 算法編碼及流程
為了用IMPSO算法求解h(n)，應對優(yōu)化參數h(0)，h(1)，…，h(N-1)進(jìn)行適當的編碼，以形成IMPSO算法中的粒子。算法用實(shí)數來(lái)表示各參數，h(0)，h(1)，…，h(N-1)分別表示N個(gè)粒子當前的位置；vh(0)，vh(1)，…，vh(N-1)分別表示當前粒子的速度；pbest(0)，pbest(1)，…，pbest(N-1)表示各粒子的個(gè)體最優(yōu)，gbest表示全體的最優(yōu)解。算法流程如圖1所示。
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