自適應濾波算法的仿真及工程實(shí)現
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自適應濾波理論是20世紀50年代末開(kāi)始發(fā)展起來(lái)的。它是現代信號處理技術(shù)的重要組成部分，對復雜信號的處理具有獨特的功能。自適應濾波器在信號處理中屬于隨機信號處理的范疇。對于隨機數字信號的濾波處理，通常有維納(Weiner)濾波器、卡爾曼(Kal-man)濾波器和自適應(Adaptive)濾波器。維納濾波器的權系數是固定的，適用于平穩隨機信號；卡爾曼濾波器的權系數是可變的，適用于非平穩隨機信號。但是，只有在對信號和噪聲的統計特性先驗已知的情況下，這兩種濾波器才能獲得最優(yōu)濾波。但在實(shí)際應用中，常無(wú)法確定這些統計特性的先驗知識，或統計特性是隨時(shí)間變化的，因此，在許多情況下，維納濾波器或卡爾曼濾波器實(shí)現不了最優(yōu)濾波，而自適應濾波不要求已知信號和噪聲的統計特性，因而可以提供理想的濾波性能。當前，自適應濾波技術(shù)已廣泛應用于自適應噪聲對消、語(yǔ)音編碼、自適應網(wǎng)絡(luò )均衡器、雷達動(dòng)目標顯示、機載雷達雜波抑制、自適應天線(xiàn)旁瓣對消等眾多領(lǐng)域。
在一些信號和噪聲特性無(wú)法預知或它們是隨時(shí)間變化的情況下，自適應濾波器通過(guò)自適應濾波算法調整濾波器系數，使得濾波器的特性隨信號和噪聲的變化而變化，以達到最優(yōu)濾波的效果。這里在對自適應濾波算法研究的基礎上，給出了不同信噪比情況下，LMS算法的仿真實(shí)現及基于DSP的工程實(shí)現，并對兩種實(shí)現方法的結果進(jìn)行了驗證、分析比較。
1 自適應濾波理論
所謂自適應濾波，就是利用前一時(shí)刻已獲得的濾波器參數等結果，自動(dòng)調節現時(shí)刻的濾波器參數，以適應信號和噪聲未知或隨時(shí)間變化的統計特性，從而實(shí)現最優(yōu)濾波。自適應濾波器由兩個(gè)部分組成：一是濾波器的結構；二是調節濾波器系數的自適應算法。自適應濾波器的特點(diǎn)是自動(dòng)調節自身的沖激響應，達到最優(yōu)濾波，此算法適用于平穩和非平穩隨機信號，并且不要求知道信號和噪聲的統計特性。
1．1 自適應濾波器結構
自適應濾波器主要有無(wú)限沖激響應(IIR)和有限沖激響應(FIR)兩種類(lèi)型。濾波器結構的選擇對算法的處理起著(zhù)重要的影響；IIR型結構濾波器的傳輸函數既有零點(diǎn)又有極點(diǎn)，它可以用不高的階數實(shí)現具有陡峭通帶特性，缺點(diǎn)是穩定性不好，且相位特性難于控制。FIR濾波器是全零點(diǎn)濾波器，它是穩定的，且能實(shí)現線(xiàn)性的相位特性，因此，自適應濾波器的結構通常采用F1R型濾波器的橫向結構，結構如圖1所示。
式中：n為時(shí)間序列；N為濾波器階數；x(n)=[x(n)，x(n-1)，…，x(n-N+1)]T為輸入矢量；W(n)=[ω0(n)，ω1(n)，…，ωN-1(n)]T為權系數矢量。
1．2 LMS自適應濾波算法
LMS自適應濾波算法是根據最小均方誤差準則進(jìn)行設計的，LMS算法的目的是通過(guò)調整系數，使輸出誤差序列的均方值最小化，并且根據這個(gè)數據來(lái)修改權系數。誤差序列的均方值ε表示為：
式中：d(n)為理想信號；e(n)為輸出誤差序列。將式(1)中的y(n)代人式(2)中有：
式中：R=E[X(n)XT(n)]為N×N自相關(guān)矩陣，表示輸入信號采樣值間的相關(guān)性矩陣。P=E[d(n)X(n)]為N×1互相關(guān)矩陣，表示理想信號d(n)與輸入信號矢量的相關(guān)性。
在均方誤差最小時(shí)，最佳權系數
應滿(mǎn)足如下方程：
即：
這是一個(gè)線(xiàn)性方程組，如果R矩陣為滿(mǎn)秩矩陣，則有R-1存在，可得到權系數的最佳值滿(mǎn)足：
由式(6)可以知道，求出R和P就可以得到W*。由前幾式可知，R是X(n)的自相關(guān)矩陣，P是d(n)與 X(n)的互相關(guān)矢量。
LMS算法是以最陡下降法為原則的迭代算法，即W(n+1)矢量是W(n)矢量按均方誤差性能平面的復斜率大小調節響應一個(gè)增量，即：
式中：u表示自適應步長(cháng)；
(n)為n次迭代的梯度，表示為：
由式(7)產(chǎn)生了求解最佳權系數W*方法的兩種方法，一種是最陡梯度法，其基本思路為：設定初始權系數W(0)，用式(7)迭代公式計算，迭代直到W(n+1)與 W(n)誤差小于規定范圍。其中(n)的E[]計算可用下面的估計值表達式來(lái)計算：
式中K取值應足夠大。如果用瞬時(shí)-2e(n)X(n)來(lái)代替上面對-2E[e(n)X(n)]的估計運算，就產(chǎn)生另一種算法：隨機梯度法，即Widrow-Hoff的LMS算法。迭代公式表示為：
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