利用重疊掃描方法改進(jìn)單片機乘法運算

引 言

1946年，第一臺電子計算機的誕生開(kāi)創(chuàng )了計算機發(fā)展的新紀元。隨著(zhù)計算機科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，計算機的應用領(lǐng)域越來(lái)越廣泛，并逐漸形成科學(xué)發(fā)展中的一個(gè)新的分支。在計算機的主要工作中，處理大量的數據是其一項基本功能；因而數據運算是必不可少的。于是人們設法在硬件設計與數據結構方面努力進(jìn)行工作［1］，使計算機的速度不斷提高。

十幾年前，單片微型機脫穎而出，逐漸應用于微型計算機的各個(gè)領(lǐng)域，它不僅適用于一般的自動(dòng)控　　制，而且還可以承擔高精度的數據處理工作。誠然，在許多系統中近來(lái)采用DSP來(lái)提高微機的數據處理能力，以便完成復雜的圖像處理、音頻處理、網(wǎng)絡(luò )通訊等功能，而且是一個(gè)趨勢；但在這些系統中仍不可忽視運算程序的執行速度，因為好的算法可以大大提高程序的執行效率［2］。同時(shí)，考慮到目前8BITMCU的主導地位及某些系統不適合配置DSP來(lái)進(jìn)行數據處理［3］。因此，這里仍有必要對高精度高速度的浮點(diǎn)多字節運算進(jìn)行進(jìn)一步研究。

1　浮點(diǎn)多字節標準乘法

普通的計算機都采用標準的加法－移位技術(shù)來(lái)實(shí)現乘法，Mowle曾經(jīng)對這些基本的乘法算法和問(wèn)題作了詳細的描述［4］。對于二進(jìn)制數A，B來(lái)說(shuō)，設其數值為AV，BV

由此原始矩陣乘法產(chǎn)生了標準的移位加算法［5，6］。一般的標準浮點(diǎn)乘法運算分為階碼運算與尾數運算兩部分，其主要部分為尾數運算。標準尾數相乘是采用邊乘邊相加的辦法（即加法－移位）來(lái)實(shí)現的，即乘數向左移位，產(chǎn)生中間結果，中間結果被加至積區的方法；在整個(gè)過(guò)程中，積也與乘數一起移位。此過(guò)程如圖1所示。上述方法對于兩個(gè)n位二進(jìn)制尾數的相乘結果，即乘積為2n位，也就是部分積要點(diǎn)n位，在運算過(guò)程中，這2n字節都有可能要有相加的操作，需2n個(gè)字節加法器。對于標準算法，相當于進(jìn)行了8n次2n字節的移位，還有次2n字節的加法。其中Pj（bj）為其每個(gè)bit位的布爾取值，其為1則取1，反之則為0。

為了節省運算時(shí)間，標準乘法應用標準右移乘法方法以便減少加法器的數量，有關(guān)這方面的具體論述請參見(jiàn)文［2］。

2　掃描乘法的基本原理

在執行乘法指令時(shí)，如果每個(gè)周期所檢查的乘數位多于一位，乘法的速度便可以加快。例如，每次檢查二位，那么加法移位周期的總數就可以減半。這些逐次掃描的位組可以是分離的，也可以是重疊的。這里先簡(jiǎn)述一下分離掃描的原理。對于乘數來(lái)講是以字節為單位的，其字長(cháng)按二進(jìn)制BIT來(lái)計是偶數，設被乘數A＝（AX），乘數B＝（MR）；則在掃描了最低一對乘數位（MR1，MR0）后，有四種可能的動(dòng)作，如圖2所示。對于m＝（MR1，MR0）2來(lái)說(shuō)，被乘數A的倍數m×A被加到當前的部分乘積上，用來(lái)生成下一個(gè)部分積。上述原理可以推廣到任意大小的掃描位組，其具體實(shí)現方法和分析結果請參見(jiàn)文［2］，這里不再敘述。

以上所描述的是分離掃描的情況，下面再介紹重疊多位掃描的情況。一般在乘數中bj為0的個(gè)數越多，則程序運行的時(shí)候對為0的情況僅僅是移位越過(guò)，而不用作加法的運算，在此種情況下的運算相對加快。因此希望對乘數的bj能否進(jìn)行適當的操作，使這之在bj為1的區域也能使運算時(shí)間減少。

現考慮乘數中有一串k個(gè)連續的1，如下
　　列的位置…，i＋k，i＋k－1，i＋k－2，…，i，i－1，…
　　列的內容…，0，1，1，…，1，0，… （2）　

按常規，在移位加時(shí)，被乘數A與部分積要進(jìn)行k次加法操作，但是存在
2i＋k－2i＝2i＋k－1＋2i＋k－2＋…＋2i＋1＋2i　 （3）

因此可以用下面的數符串來(lái)代替k個(gè)連續的1
　　列的位置…，i＋k，i＋k－1，i＋k－2，…，i，i－1，…
列的內容…，1，0，0，…，－1，0，… （4）

上面的－1表示執行一次減法。利用這種乘法再編碼的方法，只要在數字串開(kāi)始時(shí)作一次加法，結束時(shí)作一次減法，使這能夠代替原來(lái)的k次連續加法。顯然，當k很大時(shí)，能節省大量的加法時(shí)間。

為了方便掃描，乘數位仍按二位一組分成許多組，但一次掃描三位，二位來(lái)自現在的組，第三位來(lái)自下一次高次組的低位，實(shí)際上每一組的低位被檢測了二次。為了與右移算法取得一致，假定掃描乘數從右端到左端，重疊和非重疊兩種掃描模式表示見(jiàn)圖3。

設掃描組XR＝［Xi＋1，Xi］2；下一掃描組XR′＝［Xi＋3，Xi＋2］2；每三位一組檢測后的動(dòng)作說(shuō)明見(jiàn)圖4。其指出了每個(gè)機器周期或執行一次單純的移位，或者執行一次加法，或者執行一次減法，這里只需要倍數2A或4A。當下一對的低次位xi＋2為0時(shí)，三位中最左邊的1經(jīng)常指示一串1的左端（結束）。依式（3）所描述的特性，在具有非零的乘數位時(shí)應該執行加法。另一方面，當xi＋2＝1 時(shí)，即意味著(zhù)是一串1的右端（開(kāi)始）或中心，按照串特性需要作一次減法，在每個(gè)加法周期中，部分乘積每次要右移二位。這就使部分乘積比它應該具有的數值少了4倍被乘數（－4A）。這可以用在下一步掃描中加上所需被乘數的倍數與4倍數的差值來(lái)校正。倍數2A或4A進(jìn)入加法器的地點(diǎn)是重要的。如果一對的尾數是 0，那么所得到的部分乘積是正確的，而且下一次的操作是一次加法。如果一對的結尾是1，則所得到的部分乘積太大，所以下一次操作將是一次減法。

3　單片機重疊掃描乘法運算的實(shí)現

從以上原理可知，針對二位一組的情況需要五個(gè)被乘數的倍數，其數值可取為0，±2A，±4A。由于其每移二位至多操作一次加減法，在多字節的運算中對提高執行效率有很大的益處；不過(guò)考慮到8BITMCU的移位操作并沒(méi)有二位一移的指令，對這種掃描算法有很大的障礙，必須重新考慮掃描運算如何在微型機上進(jìn)行實(shí)施。

根據文［2］，MCU對字節與半字節操作的指令較強，因此可以在掃描算法的基礎上擴展其掃描位組，這樣在每個(gè)加法周期中的運算變得很復雜，因此首先必須研究清楚這種情況。

將乘數位按4BIT分成一組，一次掃描五位；設本組為BMi＝［Xi＋3，Xi＋2，Xi＋1，Xi］，下一次要掃描的BMi′的低位為Xi＋4；這樣在掃描過(guò)程中的情況與文［3］所介紹的情況有類(lèi)似之處，但這里進(jìn)行運算的次數不但與BMi有關(guān)，同時(shí)下一次掃描的低位對本算法也有重大的影響作用。假定在運算數中0，1的概率出現機會(huì )均等，對4位一組的掃描進(jìn)行分析?！　「鶕丿B掃描算法的原理，BMi′低位為0時(shí)（如圖5所示），組中最左端的1指示一串1的左端（結束）。依據式（3），很容易得到每次掃描部分積所要加的被乘數倍數（見(jiàn)圖5），可以得到其倍數，即相加的倍數
Pj＝｛BMi－2G［BMi／2］｝A＋BMi．A　?。?（BMi－G［BMi／2］）A （5）

其中G［］為取整函數。Pj實(shí)質(zhì)上均與2A有關(guān)，這一點(diǎn)從圖中可以看到。如果一組的結尾是零，那么所得到部分乘積是正確的，按正常操作；如果一組的結尾是1，那么所得的部分積同上一次掃描有關(guān)；所以此時(shí)只是在掃描第一組時(shí)做一下記錄，在最后完成時(shí)針對它在最尾端減一次A即可。這一點(diǎn)對于BMi′低位為1時(shí)也成立。其部分積加的情況如圖6所示。