一種新的變步長(cháng)LMS自適應濾波算法在DSP上的實(shí)現

Widrow和Hoff等人于1960年提出最小均方誤差(LMS)算法，由于其結構簡(jiǎn)單，計算量小，穩定性好，易于實(shí)現等優(yōu)點(diǎn)而得到廣泛的應用。LMS算法的缺點(diǎn)是收斂速度慢，它克服不了收斂速度和穩態(tài)誤差這一對固有矛盾：在收斂的前提下，如果步長(cháng)取較大值，雖然收斂速度能得到提高，但穩態(tài)誤差會(huì )隨之增大，反之穩態(tài)誤差雖然降低但收斂速度就會(huì )變慢。為解決這一矛盾，人們提出了許多改進(jìn)型自適應算法。其中很大一類(lèi)是變步長(cháng)LMS算法。文獻[4]提出Sigmoid函數變步長(cháng)LMS算法(SVSLMS)。該算法在初始階段或未知系統的系數參數發(fā)生變化時(shí)，其步長(cháng)較大，從而使該算法有較快的收斂速度；而在算法收斂后，不管主輸入端干擾信號e(n)有多大，都保持很小的調整步長(cháng)，從而獲得較小的穩態(tài)失調噪聲。但Sigmoid函數過(guò)于復雜，且在誤差e(n)接近零處變化太大，不具有緩慢變化的特性，使得SVSLMS算法在自適應穩態(tài)階段仍有較大的步長(cháng)變化；文獻[5]提出的算法引入了多個(gè)調整參數，因而步長(cháng)因子不易設計和控制；文獻[6-8]提出了3種與誤差信號成非線(xiàn)性關(guān)系的步長(cháng)設計方法，該類(lèi)算法具有較好的收斂性能，但3種算法在計算步長(cháng)因子時(shí)，都存在指數運算。在數字信號處理中，進(jìn)行一次指數運算需要的計算量，相當于進(jìn)行多次乘法運算的計算量。

因此這類(lèi)算法在實(shí)現時(shí)，增大了計算復雜度。為克服上述變步長(cháng)LMS自適應濾波器存在的不足，在此提出了一種新的變步長(cháng)LMS自適應濾波算法，該算法具有良好的收斂性能，較快的收斂速度，較小的穩態(tài)誤差．良好的魯棒性，并且在求變步長(cháng)因子時(shí)計算量較小。

1 新的變步長(cháng)LMS算法分析

基本的固定步長(cháng)LMS算法的迭代公式可以表述為：



式中：X(n)表示時(shí)刻n的輸入信號矢量；W(n)表示時(shí)刻n自適應濾波器的權系數；d(n)是期望輸出值；e(n)是誤差；μ是控制穩定性和收斂速度的參量(步長(cháng)因子)。本文基于文獻[6，7]建立一個(gè)步長(cháng)μ(n)和誤差e(n)的函數關(guān)系：反正切函數是一個(gè)關(guān)于自變量的增函數，且在零附近變化平緩，而且是一個(gè)有界函數，函數值不會(huì )發(fā)散。根據W(k+1)=W(k)=w*=最佳Wiener解，即2μ(n)e(n)X(n)=0并且0μ(n)1／λmax，即Oe(n)X(n)O=0，求得e(n)最小值。
根據上述討論，可將新算法的變步長(cháng)μ(n)取為：

μ(n)=βαtan(αOe(n)X(n)O)

初始時(shí)刻O(píng)e(n)X(n)O很大，由于反正切是一個(gè)自變量的增函數，所以μ(n)較大；隨著(zhù)算法不斷地向穩態(tài)趨近，Oe(n)X(n)O不斷減小，μ(n)也隨之不斷減??；當達到穩態(tài)時(shí)，Oe(n)X(n)O很小，μ(n)也很小，此時(shí)的穩態(tài)失調誤差也很小。

由圖1可看出α越大，相同誤差水平時(shí)的步長(cháng)也越大，但在誤差接近為零時(shí)步長(cháng)變化越劇烈。圖2是β取不同值時(shí)的步長(cháng)變化曲線(xiàn)，可以看出隨著(zhù)β的減小步長(cháng)也在減小。

2 仿真及結果分析

下面通過(guò)計算機仿真來(lái)驗證算法的收斂性能。仿真條件為：自適應濾波器的階數為L(cháng)=2；未知系統的FIR系數為W=[0，0]^T；參考輸入信號x(n)是零均值，方差為1的高斯白噪聲；v(n)為與x(n)不相關(guān)的高斯白噪聲。分別做200次獨立的仿真，采樣點(diǎn)數為1 000，然后求其統計平均，得出學(xué)習曲線(xiàn)。

圖3是α固定，不同β值對應的收斂曲線(xiàn)。隨著(zhù)β值的增大，算法的收斂速度逐漸加快。圖4是β保持不變，不同α值對應的收斂曲線(xiàn)，隨著(zhù)α逐漸減小，算法的誤差也隨之減小，但達到穩態(tài)的時(shí)間逐漸增加。

文獻[7]提出了一種改進(jìn)的變步長(cháng)LMS算法，其步長(cháng)變化為e(n)X(n)的函數：

μ(n)=β[1-exp(-αOe(n)x(n)O²)]

該算法取α=15，β=0.3。圖5是在第500個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)刻未知系統發(fā)生時(shí)變，系數矢量變?yōu)閃=[0.2，0.5]^T時(shí)本文算法與文獻[7]算法的比較，分別做500次獨立的仿真，然后求其統計平均，得出學(xué)習曲線(xiàn)?？梢钥闯霰疚乃鏊惴ň哂懈斓氖諗克俣?，更快地回到穩態(tài)，說(shuō)明此算法具有更好的魯棒性，并且計算量更小。