快速小波變換的定點(diǎn)DSP實(shí)現

小波變換具有良好的時(shí)——頻局部性，是分析奇異信號的重要方法。定點(diǎn)DSP在工程中的應用十分普遍，具有低成本，高性能的特點(diǎn)。利用DSP實(shí)現小波變換可以滿(mǎn)足工程是實(shí)時(shí)性的要求。文中簡(jiǎn)要介紹了小波變換理論及算法，并結合TI公司的16位定點(diǎn)DSP說(shuō)明算法的實(shí)現。
關(guān)鍵詞：快速算法 小波變換 DSP

1 引言
小波變換是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種數學(xué)理論和方法。作為一種新興的理論，小波分析是數學(xué)發(fā)展史上的重要成果，對工程應用產(chǎn)生了深遠的影響。廣泛應用于語(yǔ)音信號處理、圖像信號處理、信號檢測、語(yǔ)音與圖像編碼、多尺度邊緣提取與重建等領(lǐng)域。近年來(lái)，在電力系統中也開(kāi)始應用小波分析進(jìn)行故障檢測及故障定位，并取得了有效的成果。
計算機只能處理數字信號，所以在實(shí)際信號處理中，常采用離散形式的小波變換(Discrete Wavelet Transform，DWT)。由于小波變換算法的復雜性，盡管當今處理器芯片運算速度得到了大幅度的提高，仍然在實(shí)時(shí)性上不能滿(mǎn)足要求。為了簡(jiǎn)化計算過(guò)程，人們發(fā)展了一些快速算法，如Mallat塔式算法，及利用調頻Z變換(chirped Z Transform，CZT)，梅林變換(Mellia Transform)進(jìn)行快速計算等算法。其中，尤其以Mallat塔式算法在實(shí)際應用比較廣泛。
在數字信號處理領(lǐng)域，通常使用專(zhuān)用的數字信號處理器芯片(DSP)以完成特定的運算要求。美國TI公司是全球最大的DSP供應商，其生產(chǎn)的TMS320C2xx系列16位定點(diǎn)DSP芯片具有高性能、低價(jià)格等特點(diǎn)，具有廣泛的應用領(lǐng)域。本文中用該系列DSP芯片實(shí)現小波變換的快速算法。
本文將小波變換快速算法用DSP加以實(shí)現，既可利用小波變換實(shí)現應用要求，又可降低成本，增強市場(chǎng)競爭力。尤其在當今，隨著(zhù)電力系統的不斷發(fā)展，及用戶(hù)對電能質(zhì)量的要求越來(lái)越高，對電力系統運行監控及保護的采樣點(diǎn)數越來(lái)越多的情況下，利用此方法可以解決運算量大、運算精度高的問(wèn)題。
2 小波變換及算法
2.1 小波變換
小波函數的確切定義為：
設ψ(t)為—平方可積函數，若其傅里葉變換ψ(ω)滿(mǎn)足條件

則稱(chēng)ψ(t)為一個(gè)基本小波或小波母函數。將其進(jìn)行伸縮和平移后，得到小波基函數

所謂小波變換就是把信號在上述小波基下進(jìn)行展開(kāi)。當然，此變換必須存在逆變換，否則，不能恢復原信號，該變換就沒(méi)有什么意義了。
2.2 多分辨率分析
多分辨率分析在正交小波變換理論中具有非常重要的地位，在多分辨率分析理論產(chǎn)生之前，人們構造正交小波基函數要憑借技巧，具有一定的難度。自從有了多分辨率分析理論，這項工作變得容易的多。當然，要尋找合適的基函數還是需要一定的經(jīng)驗的。當找到了合適的濾波器系數后，就可以利用Mallat給出的快速小波算法來(lái)計算小波變換了。
通俗的講，多分辨率分析就是把空間V0上的函數f(t)分解為細節部分W1(小波空間)和大尺度逼近部分V1(尺度空間)，然后將大尺度逼近部分V1進(jìn)一步分解，如此重復就可得到任意尺度(或分辨率)上的逼近部分和細節部分。
2.3 濾波器系數
根據多分辨率分析理論，如果φ(t)，ψ(t)分別為尺度空間V0及小波空間W0的一個(gè)標準正交基函數，則在任意相鄰尺度j，j-1之間，都有二尺度空間基函數關(guān)系

其中的h(n)，g(n)即為濾波器系數，由尺度函數φ(t)和小波系數ψ(t)決定。
2.4?Mallat塔式算法
當有了一組小波基函數后，剩下的事就是計算分解了，即把信號用小波基函數表示出來(lái)，從而關(guān)鍵問(wèn)題是求出表示式中的系數。根據多分辨率分析，將信號f(t)□Vj-1分解一次(即分別投影到Vj、Ｗj空間)，此時(shí)cj,k和dj,k為j尺度上的展開(kāi)系數，經(jīng)過(guò)不算復雜的推導，可得

其中cj,k和dj,k分別稱(chēng)為j尺度空間的剩余系數和小波系數，上式說(shuō)明它們可由j-1尺度空間的剩余系數cj-1，k經(jīng)濾波器系數進(jìn)行加權求和得到。實(shí)際中的濾波器h，g的長(cháng)度都是有限長(cháng)的或近似有限長(cháng)的，因此分解運算非常簡(jiǎn)單。將cj,k進(jìn)一步分解下去，可分別得到Vj+1、Wj+1空間的剩余系數Cj+1，k和小波系數dj+1,k

從而得到任意尺度空間上的分解。分解過(guò)程如圖所示

在上述算法中必須要有一個(gè)初始輸入序列Cj-1，k，分解才能順利進(jìn)行，這是一個(gè)問(wèn)題。在大多數應用中，為了簡(jiǎn)便，常用輸入信號的采樣序列來(lái)近似作為C0，k。在一些文獻里也給出了其它幾種確定C0，k的方法。
3?算法在DSP上的實(shí)現
假設輸入信號x(t)，采樣頻率N(=2n)，得采樣序列x(k)，k=0，…，N-1，作為初始輸入序列C0，k。濾波器系數h(m),g(m)，m=0，…，L-1。為了應用簡(jiǎn)便，(1)、(2)式可變?yōu)?br />