如何學(xué)習李群和李代數？

首選不直接對什么是李群什么是李代數進(jìn)行闡述，目前的資料太過(guò)同化了吧！在我們上初中的時(shí)候我們知道要想求取函數的最值需要求取導數，而在優(yōu)化問(wèn)題中也需要求取導數（梯度下降、高斯牛頓、L-M法）?，F在已經(jīng)學(xué)到應用數學(xué)的時(shí)候了，讓我們來(lái)看下slam是怎么的優(yōu)化問(wèn)題？如何求導？我研究的是三維激光slam，就以三維激光slam為例子？二維激光slam，視覺(jué)slam都是如此。假如我們有兩個(gè)傳感器，一個(gè)是三維激光一個(gè)是IMU。使用IMU可以預測到機器人的運動(dòng)，我們稱(chēng)其為運動(dòng)方程，而使用三維激光雷達通過(guò)一些算法（ICP或者NDT）也可以得到機器人的運動(dòng)，稱(chēng)為觀(guān)測方程。那到底聽(tīng)這兩個(gè)傳感器誰(shuí)的？那么可以構建不同優(yōu)化問(wèn)題，批量估計的最小二乘問(wèn)題或者增量估計的濾波方法。不管哪種方法最終都逃不脫式1-1的形式，后續會(huì )對的形式進(jìn)行討論，首先我們來(lái)明確下待優(yōu)化的變量X是什么？我們都知道在slam問(wèn)題中首先需要建立世界坐標系，即你建立的地圖的坐標原點(diǎn)需要指定，在你不指定的時(shí)候，目前是建圖和定位的起始幀的坐標為世界坐標系的原點(diǎn)。其次需要明白的是相機也有自己的坐標系，但是他是運動(dòng)的。當相機下的一個(gè)坐標點(diǎn)需要轉換到世界坐標系下，你該怎么做，是不是需要乘以一個(gè)旋轉平移矩陣R。那么當這個(gè)點(diǎn)就是相機坐標系的原點(diǎn)時(shí)，那么旋轉平移矩陣是不是就代表著(zhù)機器人的運動(dòng)，因此待優(yōu)化變量是個(gè)矩陣，而且是正交單位陣。此時(shí)你已經(jīng)知道了slam問(wèn)題即定位問(wèn)題是個(gè)矩陣了，那為什么我說(shuō)他是正交單位陣那？首先需要你知道的是我們在學(xué)習矩陣的時(shí)候都是先學(xué)習的坐標系然后再學(xué)習的向量，因此我們需要先改變一個(gè)概念，坐標系并不只有像墻角那樣垂直的坐標系，其次向量是真實(shí)存在的，但是向量的是唯一的，但是向量的坐標是不一定的，因為坐標系是由線(xiàn)性不相關(guān)的向量構成的向量組，也可以稱(chēng)為基底，一般選擇正交的單位陣，符合人類(lèi)的直覺(jué)。選擇不正交且不是單位陣的矩陣作為坐標系嗎？我猜你在定位問(wèn)題中不會(huì )。如公式1-2。是一個(gè)坐標系的基底。是在該基底下向量的坐標，其含義是在三個(gè)向量的加和構成了需要表示的向量。同理在基底下的坐標表示為。因為都是對同一向量的表示因此二者相等。那么可由式1-3得出。觀(guān)察是基底向量的內積留下的是余弦函數，將看成是世界坐標系下的原點(diǎn)，此時(shí)R代表了旋轉。表示了旋轉的方向，因此R稱(chēng)為方向余弦矩陣也稱(chēng)為旋轉矩陣。是機器人姿態(tài)的變換，是slam中待優(yōu)化的變量，也是我們實(shí)時(shí)要知道的值，這樣才可以知道機器人是如何旋轉的，至此我們就明白了待優(yōu)化的變量不僅是個(gè)矩陣而且是個(gè)單位正交陣。而且這個(gè)旋轉矩陣相乘，仍然是旋轉矩陣，這個(gè)性質(zhì)挺有意思吧，整數相加仍然是整數和其類(lèi)似，數學(xué)中把像旋轉平移矩陣和乘法，做完運算后還是旋轉平移矩陣的稱(chēng)為群（這是群的封閉性，即運算完還是自己。我認為集合和運算在滿(mǎn)足封閉性后，很大概率上就是群，當然嚴格定義共需要滿(mǎn)足4個(gè)條件，自行查找吧），至此我們可以得出slam中待優(yōu)化的變量是矩陣，是正交矩陣，還是群。并且這個(gè)群的乘法代表著(zhù)旋轉變換，而且旋轉變換是連續的，平滑的，旋轉多微小的變化都可以，因此又稱(chēng)為李群。OK,這便是待優(yōu)化的變量。

那么在優(yōu)化過(guò)程中我們需要求導，根據導數的定義，我們知道我去待優(yōu)化變量是需要做減法的如式2-1所示，而矩陣做減法沒(méi)有意義，這該如何是好？以下公式是前人想到的啊，我也不知道是怎么想到的，兩個(gè)字就是牛逼。已知任意旋轉矩陣滿(mǎn)足式2-2.對式2-2求導得整理得有一個(gè)結論，任意一個(gè)向量都可以用一個(gè)反對稱(chēng)矩陣表示同時(shí)任意一個(gè)反對稱(chēng)矩陣都可以用一個(gè)向量表示。這是結論，不允許你問(wèn)為什么。根據結論式2-4可以表示為式2-5等式兩邊右乘R(t)，由于R為正交陣得到式2-6通過(guò)上式的推導可以看出反對稱(chēng)矩陣對應的向量是矩陣的導數，由于旋轉矩陣是關(guān)于時(shí)間變量連續的，故待優(yōu)化變量也成了時(shí)間t的函數。以直代曲的逼近過(guò)程是可以將導數看成常數故得2-7.解式2-7的微分方程得式2-8當t=0時(shí)刻時(shí)，矩陣沒(méi)有變化因此帶入2-8可得最終的式2-9即c=0;通過(guò)推導將矩陣變換看成時(shí)間的導數，并推導出旋轉變換矩陣與指數函數的相關(guān)。那矩陣的乘法也就變成了指數的乘法，指數的乘法的運算規則是加法，所以這是不是可以對旋轉變換矩陣進(jìn)行求導了，答;必須滴！那這個(gè)就成為李代數，每個(gè)李群都有與之對應的李代數，李代數描述了李群的局部性質(zhì)，這里對矩陣以直代曲就是李代數最直觀(guān)的體現，在t=0時(shí)刻的泰勒展開(kāi)就是李代數和李群最直觀(guān)的聯(lián)系如式2-10.后文我還會(huì )繼續深究，起始此向量是旋轉向量對應的向量空間。后面細究。先有個(gè)直觀(guān)感受。設,并設此時(shí)旋轉矩陣為。按照導數定義,可以把在t=0附近進(jìn)行一階泰勒展開(kāi):回到剛才，有了指數的加法是否可以得到式2-11或者式2-12

答不可以，只有高中學(xué)的是標量才可以，當是向量的時(shí)候不可以，BCH這三人得出了是標量時(shí)的公式2-13

忽略高次項可得結論式2-14，想知道為什么需要自己推導。

和2-12差不多少了，只是多了一個(gè)雅可比矩陣或者（二者取其一）雅克比的具體表達如式2-15

至此優(yōu)化問(wèn)題出現的對矩陣求導無(wú)法滿(mǎn)足導數定義的問(wèn)題通過(guò)李代數將旋轉變換矩陣通過(guò)指數函數進(jìn)行表示，而指數函數有加法，可以滿(mǎn)足導數定義。

相機坐標系的坐標原點(diǎn)在世界坐標系下的坐標點(diǎn)P,通過(guò)算法得到R,現在要對R求導。如式3-1通過(guò)李代數的替換為式3-2根據導數定義對3-2式進(jìn)行展開(kāi)第2行為線(xiàn)性近似,第3行為泰勒展開(kāi)舍去高階項后的近似,4行和5是將反對稱(chēng)符號看作外積（兩個(gè)向量的外積可以化作反對稱(chēng)矩陣和另外一個(gè)向量的乘積）,交換之后變號。不過(guò)問(wèn)題在于需要求取這可是很麻煩的如式2-14。不過(guò)不要被導數定義定死了，導數的定義用一句話(huà)來(lái)講是函數的微小變化和自變量微小變化的比值。按照如下想法可以得如下推導過(guò)程。這沒(méi)有了雅可比多簡(jiǎn)潔啊，這個(gè)求法稱(chēng)為擾動(dòng)模型。

1. 李代數

這里就不仔細推導了，具體推導過(guò)程是將泰勒展開(kāi)，最終可得這個(gè)向量是旋轉向量，什么是旋轉向量，除了上文推導出的旋轉矩陣即方向余弦矩陣，還有旋轉向量，方向余弦矩陣用了9個(gè)變量表示roll pitch yaw冗余了，使用旋轉向量即方向表示旋轉的向量的繞軸，大小代表轉過(guò)的角度。這樣不冗余了。而旋轉向量和方向余弦矩陣可以通過(guò)羅德里格旋轉表示。這里需要自行查找資料，其實(shí)推導不難。只需記住結論：李代數是旋轉向量組成的空間。最后提示一下，本文只提起了旋轉矩陣R,但是機器人的運動(dòng)自由度有六個(gè)，我沒(méi)有提及平移變換，而平移和旋轉組成的4*4齊次矩陣依然是和旋轉矩陣一個(gè)性質(zhì)，也是一個(gè)群，也有對應的李群，方法一樣的，可以替換的。