獨家｜OpenCV 1.7 離散傅里葉變換

目標

本小節將尋求以下問(wèn)題的答案：

什么是傅立葉變換，為什么要使用傅立葉變換？

如何在OpenCV中使用傅立葉變換？

 copyMakeBorder() , merge() , dft() , getOptimalDFTSize() , log() 和 normalize() 等函數的使用方法。

源代碼

可以到

samples/cpp/tutorial_code/core/discrete_fourier_transform/discrete_fourier_transform.cpp目錄下查看OpenCV的源代碼庫。

下面是dft（）的應用示例程序：

代碼詳解

傅立葉變換可以將圖像分解成正弦和余弦分量。也就是說(shuō)，它將圖像從空間域變換到頻率域。其主要思想為：任何函數均可以用無(wú)限多個(gè)正弦和余弦函數之和來(lái)精確近似。傅立葉變換正是這一想法的實(shí)現。數學(xué)上，一張二維圖像的傅里葉變換可表示如下：

這里，f是圖像在空間域的圖像值， F是圖像在頻率域的圖像值，轉換后的結果為復數，可以通過(guò)并且可以用實(shí)數圖和復數圖進(jìn)行表示，也可以用幅度和相位圖進(jìn)行表示。然而，對于圖像處理算法而言算法僅關(guān)注圖像的幅度信息，因為其中包含了圖像幾何結構中的所有信息。如果想通過(guò)對復數圖像或幅度/相位圖像下的象函數進(jìn)行修改，從而間接地調整原函數， 那么則需要保留象函數的值，并進(jìn)行傅里葉變換逆變換，從而獲得調整后的原函數的數值。

在此示例中，將介紹如何計算和顯示圖像經(jīng)過(guò)傅里葉變換的幅度圖值。假設數字圖像的傅里葉變換是離散的傅里葉變換，可以在給定的域值中任取一個(gè)數值。例如，灰度圖像的像素值通常在0到255之間，那么傅立葉變換的結果也是離散型的。當需要從幾何視角來(lái)確定圖像的結構時(shí)，便可適用DFT。下面是離散型的傅里葉變換（DFT ）的實(shí)現步驟（假設輸入圖像為灰度圖像I）：

將圖像展開(kāi)到最佳尺寸

DFT的性能取決于圖像的大小，當圖像的尺寸為2，3，5 的倍數時(shí)，離散傅里葉變換（DFT ）的速度最快。因此，為獲得最優(yōu)的性能，可以通過(guò)調整圖像的邊界值來(lái)獲得便于快速計算的圖像尺寸。getOptimalDFTSize（）函數返回一個(gè)最優(yōu)尺寸的圖像，使用copyMakeBorder（）函數擴展圖像（將增加的像素值初始化為零）的邊界：

為復數的實(shí)部和虛部開(kāi)辟存儲空間

傅立葉變換的結果是復數，這意味著(zhù)，每個(gè)圖像對應著(zhù)兩個(gè)像素值（實(shí)部和虛部各一個(gè)分量）。此外，頻率域范圍比其對應的空間域范圍要大得多，所以至少要用浮點(diǎn)（float format）的格式來(lái)存儲傅里葉變換的結果。為此，需要將輸入的圖像數據類(lèi)型轉換成浮點(diǎn)類(lèi)型，并擴展出另一個(gè)通道來(lái)保存復數值：

離散傅立葉變換

進(jìn)行原位計算（輸入數據同輸出數據）：

將復數的實(shí)部和虛部轉換成幅度值

復數包含實(shí)部(Re)和虛部( Im) 兩部分。DFT的結果為復數，這個(gè)復數的幅度為：

轉換成OpenCV的代碼如下：

切換到對數尺寸

由于傅里葉系數的動(dòng)態(tài)范圍過(guò)大，無(wú)法在屏幕上顯示，

一些較小和較大的變化值也無(wú)法在線(xiàn)性尺度下觀(guān)察到。因此，較高的數值會(huì )變成白點(diǎn)，而較小的數值變?yōu)楹邳c(diǎn)。為了便于顯示全部數值，可使用灰度值，并將線(xiàn)性尺寸變換成對數尺寸：

轉換成OpenCV代碼如下：

剪裁和重排

在上述第一步中，對圖像的尺寸進(jìn)行了擴展，在這里則需要拋棄由圖像擴展而新引進(jìn)的像素值。為了方便可視化，對結果值的象限重新排列，使得原點(diǎn)（零，零）對應圖像中心。

歸一化

歸一化的目的也是為了便于可視化。經(jīng)過(guò)運算之后，獲得了幅度值，但這些數值仍然超出了圖像的顯示范圍（從零到一），為此，利用cv::normalize()函數對幅度值進(jìn)行歸一化，取值在零到一的范圍之內。

結果

應用傅里葉變換的主要目的是要確定圖像的幾何方向。例如，如何看出文本是水平還是垂直方向的？對于某些文字來(lái)說(shuō)，文本行的排序形式是水平線(xiàn)，而字母則形成某種垂直線(xiàn)。經(jīng)傅里葉變換后，仍然可以看到文本中片段中的兩個(gè)主要部分。下面，分別用水平和旋轉圖像來(lái)描述某一文本。

水平文本圖像：

旋轉文本圖像：

從中可以看出，頻域中影響最大的分量（幅度圖像上最亮的點(diǎn)）會(huì )隨著(zhù)圖像的幾何位置旋轉，可以根據這一點(diǎn)計算出偏移量，通過(guò)旋轉圖像來(lái)對位置進(jìn)行糾正。

注：本文以C++語(yǔ)言代碼為例，獲取Java和python版本可在原文中查看：

https://docs.opencv.org/4.5.2/d8/d01/tutorial_discrete_fourier_transform.html