考研沖刺點(diǎn)睛：數學(xué)證明三步走

　　縱觀(guān)近十年考研數學(xué)真題，大家會(huì )發(fā)現：幾乎每一年的試題中都會(huì )有一個(gè)證明題，而且基本上都是應用中值定理來(lái)解決問(wèn)題的。但是要參加碩士入學(xué)數學(xué)統一考試的同學(xué)所學(xué)專(zhuān)業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學(xué)們在大學(xué)學(xué)習數學(xué)的時(shí)候對于邏輯推理方面的訓練大多是不夠的，這就導致數學(xué)考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，以致簡(jiǎn)單的證明題得分率卻極低。

        除了個(gè)別考研輔導書(shū)（如蔡子華老師的《歷年真題精析》對真題中的證明題的解析及講評）中有一些證明思路之外，大多數考研輔導書(shū)在這一方面沒(méi)有花太大力氣，本人自認為在推理證明方面有不凡的效績(jì)，在此給大家簡(jiǎn)單介紹一些解決數學(xué)證明題的入手點(diǎn)，希望對有此隱患的同學(xué)有所幫助。

　　我把這樣的方法稱(chēng)為證明題三步走。

　　第一步：結合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準則等基本原理，包括條件及結論。知道基本原理是證明的基礎，知道的程度（即就是對定理理解的深入程度）不同會(huì )導致不同的推理能力。如2006年數學(xué)一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒(méi)有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結論，那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單，只用了極限存在的兩個(gè)準則之一：?jiǎn)握{有界數列必有極限。只要知道這個(gè)準則，該問(wèn)題就能輕松解決，因為對于該題中的數列來(lái)說(shuō)，“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

　　第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫(huà)出滿(mǎn)足題設條件的函數草圖，再聯(lián)系結論能夠發(fā)現：兩個(gè)函數除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數分別取最大值的點(diǎn)（正確審題：兩個(gè)函數取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn)）之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數F（x）=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數學(xué)一第18題（1）是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數圖形有交點(diǎn)，這就是所證結論，重要的是寫(xiě)出推理過(guò)程。從圖形也應該看到兩函數在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號的，零點(diǎn)存在定理保證了區間內有零點(diǎn)，這就證得所需結果。如果第二步實(shí)在無(wú)法完滿(mǎn)解決問(wèn)題的話(huà)，轉第三步。

　　第三步：逆推。從結論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問(wèn)題：即從結論出發(fā)構造函數，利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時(shí)需借助導數符號與單調性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性，非正常情況卻出現的更多（這里所舉出的例子就屬非正常情況），這時(shí)需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性，再用一階導的符號判定原來(lái)函數的單調性，從而得所要證的結果。該題中可設F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

　　對于那些經(jīng)常使用如上方法的同學(xué)來(lái)說(shuō)，利用三步走就能輕松收獲數學(xué)證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的同學(xué)來(lái)說(shuō)，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學(xué)請按“證明三步走”來(lái)建立自信心，以阻止考試分數的白白流失。