給"小白"圖示講解OFDM的原理

　　遵循古老的傳統，F表示頻域，f表示時(shí)域，所以可以從公式1-2中看出，每個(gè)子載波上面調制的幅度，就是頻域信息。類(lèi)似的說(shuō)法是：OFDM傳輸的是頻域信號。這種說(shuō)法有些別扭，但是很多教程或文章會(huì )使用這樣的說(shuō)明方式，就看讀者如何理解了。如果純粹從公式或者子載波來(lái)看，這種說(shuō)法其實(shí)也是很直接的闡述了。

　　上面1.1-1.3的擴展，可如下圖所示：

　　圖七：時(shí)域上的OFDM系統圖

　　1.4

　　還有這一步嗎?其實(shí)是有的。"小白"你可以先想想，想不到的話(huà)先往下看，因為這需要在頻域中考量，所以我寫(xiě)在后面了?！疽部蓞⒖糩1]】

　　將上述的時(shí)域分析配上LTE的實(shí)現，有如下情況：

　　【注1：本段描述需要有LTE物理層的基本知識，如果看不明白，請暫時(shí)跳過(guò)，看完整篇文章后再回看】

　　【注2：LTE并非時(shí)域的實(shí)現，下面僅僅是套用LTE的參數，做一個(gè)參考分析】

　　子載波的間隔Δf=15kHz，一個(gè)OFDM

　　symbol的發(fā)送時(shí)間是66.7us，可以發(fā)現，15kHz*66.67us=1，即基帶上一個(gè)OFDM

　　symbol的發(fā)送時(shí)間正好發(fā)送一個(gè)一次諧波的完整波形。對于10M的LTE系統，采用的是1024個(gè)子載波，但是只有中間600個(gè)(不含最中間的直流)子載波被用于傳送數據。在一個(gè)OFDM

　　symbol的時(shí)間內(即66.67us)，靠近中間的兩個(gè)一次諧波傳輸一個(gè)完整波形，再靠外一點(diǎn)的兩個(gè)二次諧波傳輸兩個(gè)完整波形，以此類(lèi)推至最外面的兩個(gè)300次諧波傳輸了300個(gè)完整的波形。在這66.67us內，600個(gè)子載波互相正交，其上分別承載了600個(gè)復數信號。

　　上面的說(shuō)法有點(diǎn)啰嗦，不如圖示來(lái)得直觀(guān)。本來(lái)準備再畫(huà)一圖的，不過(guò)一來(lái)上面已經(jīng)有了類(lèi)似的圖，實(shí)是大同小異;二來(lái)，600個(gè)子載波，也太多了點(diǎn)。。。

　　OK，說(shuō)到這里，從時(shí)域上面來(lái)看OFDM，其實(shí)是相當簡(jiǎn)潔明快討人喜歡的。不過(guò)，一個(gè)系統若要從時(shí)域上來(lái)實(shí)現OFDM，難度太大，時(shí)延和頻偏都會(huì )嚴重破壞子載波的正交性，從而影響系統性能。這點(diǎn)在各種教材文章中都會(huì )有提及，我就不贅述了。

　　下面將轉入頻域來(lái)描述OFDM，由于頻域不甚直觀(guān)，的確會(huì )稍稍讓人費解。不過(guò)只要時(shí)刻想著(zhù)時(shí)域子載波間的疊加，一切都會(huì )好起來(lái)。

　　章節二：頻域上的OFDM

　　第一章節時(shí)域上的討論開(kāi)始于OFDM中的"O";本章節頻域上我們從"FDM"開(kāi)始。

　　先圖例一個(gè)常規FDM的系統圖：

　　圖11：常規FDM，兩路信號頻譜之間有間隔，互相不干擾

　　為了更好的利用系統帶寬，子載波的間距可以盡量靠近些。

　　圖12：靠得很近的FDM，實(shí)際中考慮到硬件實(shí)現，解調第一路信號時(shí)，已經(jīng)很難完全去除第二路信號的影響了(電路的實(shí)現畢竟不能像剪刀裁紙一樣利落)，兩路信號互相之間可能已經(jīng)產(chǎn)生干擾了

　　還能再近些嗎?可以的。這就是OFDM的來(lái)歷啊，近到完全等同于奈奎斯特帶寬(后面有詳述)，使頻帶的利用率達到了理論上的最大值。

　　圖13：繼續靠近，間隔頻率互相正交，因此頻譜雖然有重疊，但是仍然是沒(méi)有互相干擾的。神奇的OFDM

　　上面三個(gè)圖的確有點(diǎn)小兒科，不知道"小白"是不是已經(jīng)在心里吶喊：這誰(shuí)不知道呀!不過(guò)我在這里花時(shí)間畫(huà)了三張圖，總還是有所考量的：

　　a.

　　作為上一個(gè)章節和本章節之間的補充和連接，說(shuō)明一下OFDM在頻域上面的表現，亦即OFDM的本源來(lái)歷。

　　b. 引導思考：信號的帶寬是多少?

　　c.

　　引導思考：OFDM正交頻譜疊加部分到底有多寬呢?結合1.4，先想想，再往下看，會(huì )更好。

　　再次回到正軌，請回看第一節中的圖一至圖六等時(shí)域波形圖，圖示了在時(shí)域上，波形的調制，疊加接收，以及最終的解碼。讓我們看看圖一至圖三中的每個(gè)步驟在頻域上是如何表現的。

　　首先來(lái)看sin(t)。"小白"呀"小白"，你且說(shuō)說(shuō)sin(t)的頻譜是啥呀?"小白"弱弱的說(shuō)：是一個(gè)沖激。是的，sin(t)是個(gè)單一的正弦波，代表著(zhù)單一的頻率，所以其頻譜自然是一個(gè)沖激。不過(guò)其實(shí)圖一中所示的sin(t)并不是真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]之內的一小段。無(wú)限長(cháng)度的信號被限制在一小截時(shí)間之內，【就好比從一個(gè)完整的人身上逮下一根頭發(fā)，然后把整個(gè)人都丟掉，以發(fā)代人】其頻譜也不再是一個(gè)沖激了。

　　對限制在[0,2π]內的sin(t)信號，相當于無(wú)限長(cháng)的sin(t)信號乘以一個(gè)[0,2π]上的門(mén)信號(矩形脈沖)，其頻譜為兩者頻譜的卷積。sin(t)的頻譜為沖激，門(mén)信號的頻譜為sinc信號(即sin(x)/x信號)。沖激信號卷積sinc信號，相當于對sinc信號的搬移。所以分析到這里，可以得出圖一的時(shí)域波形其對應的頻譜如下：

　　圖21：限定在[0,2π]內的a·sin(t)信號的頻譜，即以sin(t)為載波的調制信號的頻譜

　　sin(2t)的頻譜分析基本相同。需要注意的是，由于正交區間為[0,2π]，因此sin(2t)在相同的時(shí)間內發(fā)送了兩個(gè)完整波形。相同的門(mén)函數保證了兩個(gè)函數的頻譜形狀相同，只是頻譜被搬移的位置變了：

　　圖22：限定在[0,2π]內的b·sin(2t)信號的頻譜，即以sin(2t)為載波的調制信號的頻譜

　　將sin(t)和sin(2t)所傳信號的頻譜疊加在一起，如下：

　　圖23：a·sin(t)+b·sin(2t)信號的頻譜

　　圖23和圖13，均是頻域上兩個(gè)正交子載波的頻譜圖。比一下，發(fā)現了嗎?不太一樣!

　　是的，想必你已經(jīng)想起來(lái)了，這是因為基帶信號在傳輸前，一般會(huì )通過(guò)脈沖成型濾波器的結果。比如使用"升余弦滾降濾波器"后，圖23所示的信號就會(huì )被修理成圖13所示的信號了。這樣可以有效的限制帶寬外部的信號，在保證本路信號沒(méi)有碼間串擾的情況下，既能最大限度的利用帶寬，又能減少子載波間的各路信號的相互干擾。這也是1.4中沒(méi)有提及的，更多的可參考[1]

　　貼士：脈沖成型濾波器作用于頻域，可以"看作"時(shí)域中的每個(gè)碼元都是以類(lèi)似sinc信號發(fā)出的。沒(méi)必要糾結于發(fā)送端碼元的時(shí)域波形，只需要知道在接收端通過(guò)合適的采樣就可以無(wú)失真的恢復信號就OK咯。

　　這里用到的是奈奎斯特第一準則，在下面的框框內會(huì )稍作描述：

　　奈奎斯特第一準則請自行g(shù)oogle，這里說(shuō)說(shuō)其推論：碼元速率為1/T(即每個(gè)碼元的傳輸時(shí)長(cháng)為T(mén))，進(jìn)行無(wú)碼間串擾傳輸時(shí)，所需的最小帶寬稱(chēng)為奈奎斯特帶寬。

　　對于理想低通信道，奈奎斯特帶寬W = 1/(2T)

　　對于理想帶通信道，奈奎斯特帶寬W =1/T

　　在下面的圖31中，可以看出信號的實(shí)際帶寬B是要大于奈奎斯特帶寬W(低通的1/(2T)或者帶通的1/T)的，這就是理想和現實(shí)的距離。

　　補充說(shuō)明：本文提到的"帶寬"，也即約定俗成的帶寬理解方式，指的是信號頻譜中>=0的部分。在從低通到帶通的搬移過(guò)程中，因為將原信號負頻率部分也移出來(lái)了(也可理解為同乘e(j2πfct)

　　+ e(-j2πfct)的結果，見(jiàn)參考[2])【注：沒(méi)有上角標和下角標的編輯器，真不爽。不過(guò)，你應該看得懂的】，所以帶寬翻倍了。如下圖所示：

　　圖31：內涵豐富的圖，請參看上面和下面的說(shuō)明文字

　　上面專(zhuān)門(mén)用框框列出奈奎斯特第一準則，還有一個(gè)重要目的就是說(shuō)明下頻帶利用率的問(wèn)題。頻帶利用率是碼元速率1/T和帶寬B(或者W)的比值。

　　理想情況下，低通信道頻帶利用率為2Baud/Hz;帶通信道頻帶利用率同樣為2Baud/Hz(負頻率移出來(lái)后，和正頻率一樣可以獨立攜帶信號)

　　實(shí)際情況下，因為實(shí)際帶寬B要大于奈奎斯特帶寬W，所以實(shí)際FDM系統的頻帶利用率會(huì )低于理想情況。

　　【說(shuō)到這里，終于可以圖窮匕見(jiàn)了】而OFDM的子載波間隔最低能達到奈奎斯特帶寬，也就是說(shuō)(在不考慮最旁邊的兩個(gè)子載波情況下)，OFDM達到了理想信道的頻帶利用率。

　　圖32：OFDM正交子載波，載頻間距為奈奎斯特帶寬，保證了最大的頻帶利用率

　　將上述的頻域分析配上LTE的實(shí)現，有如下情況：

　　【注：本段描述需要有LTE物理層的基本知識】

　　子載波的間隔Δf=15kHz，一個(gè)OFDM

　　symbol的發(fā)送時(shí)間是66.7us。在10MHz信道上，1ms的子幀共傳輸14個(gè)OFDM symbol【不是15個(gè)，留空給CP了】，每一個(gè)OFDM

　　symbol攜帶600個(gè)復數信息，因此：

　　1. 從整個(gè)系統來(lái)看，波特率為600*14*2/1ms =

　　16.8MBaud，占據帶寬10MHz，因此帶寬利用率為16.8MBaud/10MHz =

　　1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想情況?！咀ⅲ阂皇荂P占用了每個(gè)OFDM

　　Symbol約1/15的資源，二是10MHz的頻帶并不是滿(mǎn)打滿(mǎn)算的用于傳輸數據，其邊界頻帶需要留空以減少與鄰近信道的干擾】

　　2.

　　單從OFDM一個(gè)symbol來(lái)看，波特率為600*2/66.7us =

　　18MBaud，占據帶寬600*15kHz=9MHz【不考慮邊界子載波帶外問(wèn)題】，因此其帶寬利用率為18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的討論。

　　附：5M帶寬的WCDMA的chip

　　rate = 3.84M/s，即碼率為3.84M*2 = 7.68MBaud，帶寬5M，所以帶寬利用率為7.68MBaud/5MHz =

　　1.536Baud/Hz，略遜于LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脈沖成型采用滾降系數為0.22的升余弦濾波器，奈奎斯特帶寬為3.84M】

　　章節三：用IFFT實(shí)現OFDM

　　其實(shí)前兩章，我已經(jīng)將自己的理解盡數表達了：第一節是從時(shí)域上來(lái)說(shuō)子載波正交的原理;第二節是從頻域上來(lái)解釋子載波正交后，達到理想頻帶利用率的特性。想來(lái)，雖然前兩章寫(xiě)得較長(cháng)【沒(méi)預料到會(huì )寫(xiě)這么長(cháng)的...太長(cháng)了沒(méi)人看...】，但是應該還是很簡(jiǎn)單、清晰、易懂的。

　　不過(guò)"小白"的卡殼，似乎并不在于最基本的正交原理和頻帶利用率上，反而是IFFT變換中，充斥的各種時(shí)域頻域角色變換讓其眼花繚亂。

　　個(gè)人覺(jué)得要理解IFFT實(shí)現OFDM，最好的辦法還是看公式。比如第一章節中的公式1-1和公式1-2，配上時(shí)域波形圖的疊加，不要太好理解喲。當然，這里的IFFT需要將時(shí)域離散化，因此公式

IFFT≈ IDFT -->

　　fn =1/N·∑Fk·e(j·2π·k·n/N) 【公式3-1，n為時(shí)域離散后的序號，N為總的IFFT個(gè)數，n∈[1,N]】

　　關(guān)于公式3-1的理解方法，可以是這樣的。其中一種理解方式是聯(lián)系第一章節的公式1-2：可以發(fā)現公式3-1等號右側所表達的物理意義和公式1-2是相同的，均代表了不同子載波e(j·2π·k·n/N)發(fā)送各自的信號Fk，然后在時(shí)域上的疊加形成fn，只不過(guò)現在疊加出來(lái)的時(shí)域不是連續波形，而是離散的時(shí)序抽樣點(diǎn)。

　　另一種更容易，更可愛(ài)的理解方式是：在一個(gè)OFDM

　　symbol的時(shí)長(cháng)T內，用N個(gè)子載波各自發(fā)送一個(gè)信號F(k)(k∈[1,N])，等效于直接在時(shí)域上連續發(fā)送fn(n∈[1,N])N個(gè)信號，每個(gè)信號發(fā)送T/N的時(shí)長(cháng)。

　　在IFFT實(shí)現OFDM中，發(fā)送端添加了IFFT模塊、接收端添加了FFT模塊。IFFT模塊的功能相當于說(shuō)：別麻煩發(fā)送N個(gè)子載波信號了，我直接算出你們在空中會(huì )疊加成啥樣子吧;FFT模塊的功能相當于說(shuō)：別用老式的積分方法來(lái)去除其余的正交子載波了，我幫你一次把N個(gè)攜帶信號全算出來(lái)吧。就是這樣，IFFT實(shí)現OFDM的系統用"數學(xué)的方法"，在發(fā)送端計算信號的疊加波形，在接收端去除正交子載波，從而大大簡(jiǎn)化了系統的復雜度。

　　圖八：用IFFT實(shí)現OFDM。請自行對比圖七

　　最后說(shuō)一句："小白"乃"白富美"之"白"，非"一窮二白"之"白"也。

　　好吧，該結束了。再寫(xiě)得長(cháng)了更沒(méi)人看了。

　　補充章節：從頻譜上來(lái)看正交性

　　本文最開(kāi)始發(fā)表時(shí)是沒(méi)有這一段的，因為原文已然十分自恰，已將OFDM的原理說(shuō)的非常清楚到位了。然而，這一段的內容卻是別的文章中講解OFDM時(shí)經(jīng)常出現的橋段，因此覺(jué)得還是有必要補充陳述一下自己的觀(guān)點(diǎn)。

　　【注：本小節為補充章節，與本文邏輯沒(méi)有必然聯(lián)系，可直接略過(guò)?！?/p>

　　從正文章節中，可以發(fā)現作者的思路：從時(shí)域角度講解子載波的正交性;從頻域角度講解OFDM的頻帶利用率。作者覺(jué)得這是最容易理解OFDM原理的方式。但是教材中、網(wǎng)絡(luò )上，還有一種非常主流的講解方式：從頻域上“直觀(guān)的”看待子載波的正交性。比如下面這個(gè)圖：

　　圖51：從OFDM頻譜看待正交性(本圖來(lái)自網(wǎng)絡(luò )，比我畫(huà)的圖好些，還有文字說(shuō)明)

　　這種觀(guān)點(diǎn)的說(shuō)法是：在每個(gè)子載波的抽樣點(diǎn)上，其它的子載波信號抽樣值均為0(即上圖中的subcarrier

　　Nulls對應某個(gè)子載波的Subcarrier

　　Peak)。這種說(shuō)法在圖示上有非常醒目的直觀(guān)效果，所以是各教材講義中的?？?，但是至少從作者的角度來(lái)看，這種說(shuō)法在涉及到后面的解調信號時(shí)，將變得非常難以理解和說(shuō)明。所以本文最開(kāi)始的版本中是沒(méi)打算寫(xiě)本小節的。

　　如果你看到這里，覺(jué)得這種說(shuō)**中下懷，那么恭喜你。

　　如果你看到這里，覺(jué)得這種說(shuō)法已經(jīng)讓你的腦袋成了漿糊，那么可以回顧第一章節：時(shí)域上的正交性，然后繼續閱讀下面部分以解毒。

　　時(shí)域上的正交性和頻域上的正交性之間的關(guān)系該如何聯(lián)系起來(lái)呢?回顧前面提到sin(t)和sin(2t)是正交的【證明：sin(t)·sin(2t)在區間[0,2π]上的積分為0】，推廣到更一般的情況是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt)}在區間[0,

　　1/Δf]上正交(注：教材上一般寫(xiě)為u(t)在[-T/2,T/2]區間上怎么怎么著(zhù)，本文就用不著(zhù)那么學(xué)術(shù)了)?？梢钥闯?，這里有一個(gè)關(guān)鍵的參數Δf：它既是頻域上子載波的間距，又確定了時(shí)域上的信號傳輸時(shí)間?；仡檿r(shí)域頻域轉換圖：

　　圖52：同前面的圖21，時(shí)域波形和頻域的轉換

　　聯(lián)系上圖的時(shí)頻轉換，可以發(fā)現Δf既確定了子載波本身(即上圖中第一排的兩個(gè)圖)，又確定了待發(fā)信號的傳輸時(shí)間(即上圖中第二排的兩個(gè)圖中信號的寬度)，從而決定了信號頻譜的主瓣寬度以及旁瓣為0的位置。這也意味著(zhù)，OFDM系統中一旦選定了子載波間隔，時(shí)域上的正交性以及頻域上的正交性也就順理成章的聯(lián)系起來(lái)了。如下圖：

　　圖53：同前面的圖23，兩路信號的間隔Δf，保證了時(shí)域上的正交性、確定了頻域上的旁瓣0點(diǎn)位置

　　其實(shí)對本作者而言，從頻譜上來(lái)看待OFDM的正交性有點(diǎn)顛倒因果的嫌疑。按我的理解：OFDM選用的正交子載波是因，頻譜中出現“其余子載波攜帶信號的旁瓣0點(diǎn)處于當前子載波攜帶信號主瓣峰值處”的現象是果。以果推因，謬矣。