小波變換和motion信號處理：第一篇

就是小波級數，這些級數的組合就形成了小波變換中的基basis。和傅立葉級數有一點(diǎn)不同的是，小波級數通常是orthonormal basis，也就是說(shuō)，它們不僅兩兩正交，還歸一化了。小波級數通常有很多種，但是都符合下面這些特性：

1. 小波變換對不管是一維還是高維的大部分信號都能cover很好。這個(gè)和傅立葉級數有很大區別。后者最擅長(cháng)的是把一維的，類(lèi)三角波連續變量函數信號映射到一維系數序列上，但對于突變信號或任何高維的非三角波信號則幾乎無(wú)能為力。

2. 圍繞小波級數的展開(kāi)能夠在時(shí)域和頻域上同時(shí)定位信號，也就是說(shuō)，信號的大部分能量都能由非常少的展開(kāi)系數，比如a_{j,k}，決定。這個(gè)特性是得益于小波變換是二維變換。我們從兩者展開(kāi)的表達式就可以看出來(lái)，傅立葉級數是

，而小波級數是

。

3. 從信號算出展開(kāi)系數a需要很方便。普遍情況下，小波變換的復雜度是O(Nlog(N))，和FFT相當。有不少很快的變換甚至可以達到O(N)，也就是說(shuō)，計算復雜度和信號長(cháng)度是線(xiàn)性的關(guān)系。小波變換的等式定義，可以沒(méi)有積分，沒(méi)有微分，僅僅是乘法和加法即可以做到，和現代計算機的計算指令完全match。

可能看到這里，你會(huì )有點(diǎn)暈了。這些特性是怎么來(lái)的?為什么需要有這些特性?具體到實(shí)踐中，它們到底是怎么給小波變換帶來(lái)比別人更強的好處的?計算簡(jiǎn)單這個(gè)可能好理解，因為前面我們已經(jīng)講過(guò)正交特性了。那么二維變換呢?頻域和時(shí)域定位是如何進(jìn)行的呢?恩，我完全理解你的感受，因為當初我看別的文章，也是有這些問(wèn)題，就是看不到答案。要說(shuō)想完全理解小波變換的這些本質(zhì)，需要詳細的講解，所以我就把它放到下一篇了。

接下來(lái)，上幾張圖，我們以一些基本的信號處理來(lái)呈現小波變換比傅立葉變換好的地方，我保證，你看了這個(gè)比較之后，大概能隱約感受到小波變換的強大，并對背后的原理充滿(mǎn)期待:)

假設我們現在有這么一個(gè)信號：

看到了吧，這個(gè)信號就是一個(gè)直流信號。我們用傅立葉將其展開(kāi)，會(huì )發(fā)現形式非常簡(jiǎn)單：只有一個(gè)級數系數不是0，其他所有級數系數都是0。好，我們再看接下來(lái)這個(gè)信號：

簡(jiǎn)單說(shuō)，就是在前一個(gè)直流信號上，增加了一個(gè)突變。其實(shí)這個(gè)突變，在時(shí)域中看來(lái)很簡(jiǎn)單，前面還是很平滑的直流，后面也是很平滑的直流，就是中間有一個(gè)階躍嘛。但是，如果我們再次讓其傅立葉展開(kāi)呢?所有的傅立葉級數都為非0了!為什么?因為傅立葉必須用三角波來(lái)展開(kāi)信號，對于這種變換突然而劇烈的信號來(lái)講，即使只有一小段變換，傅立葉也不得不用大量的三角波去擬合，就像這樣：

看看上面這個(gè)圖。學(xué)過(guò)基本的信號知識的朋友估計都能想到，這不就是Gibbs現象么?Exactly。用比較八股的說(shuō)法來(lái)解釋?zhuān)珿ibbs現象是由于展開(kāi)式在間斷點(diǎn)鄰域不能均勻收斂所引起的，即使在N趨于無(wú)窮大時(shí)，這一現象也依然存在。其實(shí)通俗一點(diǎn)解釋?zhuān)褪钱斪兓玸harp的時(shí)候，三角波fit不過(guò)來(lái)了，就湊合出Gibbs了:)

接下來(lái)我們來(lái)看看，如果用剛才舉例中的那種小波，展開(kāi)之后是這樣的：

看見(jiàn)了么?只要小波basis不和這個(gè)信號變化重疊，它所對應的級數系數都為0!也就是說(shuō)，假如我們就用這個(gè)三級小波對此信號展開(kāi)，那么只有3個(gè)級數系數不為0 。你可以使用更復雜的小波，不管什么小波，大部分級數系數都會(huì )是0。原因?由于小波basis的特殊性，任何小波和常量函數的內積都趨近于0。換句話(huà)說(shuō)，選小波的時(shí)候，就需要保證母小波在一個(gè)周期的積分趨近于0。正是這個(gè)有趣的性質(zhì)，讓小波變換的計算以及對信號的詮釋比傅立葉變換更勝一籌!原因在于，小波變換允許更加精確的局部描述以及信號特征的分離。一個(gè)傅立葉系數通常表示某個(gè)貫穿整個(gè)時(shí)間域的信號分量，因此，即使是臨時(shí)的信號，其特征也被強扯到了整個(gè)時(shí)間周期去描述。而小波展開(kāi)的系數則代表了對應分量它當下的自己，因此非常容易詮釋。

小波變換的優(yōu)勢不僅僅在這里。事實(shí)上，對于傅立葉變換以及大部分的信號變換系統，他們的函數基都是固定的，那么變換后的結果只能按部就班被分析推導出來(lái)，沒(méi)有任何靈活性，比如你如果決定使用傅立葉變換了，那basis function就是正弦波，你不管怎么scale，它都是正弦波，即使你舉出余弦波，它還是移相后的正弦波?？傊憔椭荒苡谜也?，沒(méi)有任何商量的余地。而對于小波變換來(lái)講，基是變的，是可以根據信號來(lái)推導或者構建出來(lái)的，只要符合小波變換的性質(zhì)和特點(diǎn)即可。也就是說(shuō)，如果你有著(zhù)比較特殊的信號需要處理，你甚至可以構建一個(gè)專(zhuān)門(mén)針對這種特殊信號的小波basis function集合對其進(jìn)行分析。這種靈活性是任何別的變換都無(wú)法比擬的?？偨Y來(lái)說(shuō)，傅立葉變換適合周期性的，統計特性不隨時(shí)間變化的信號; 而小波變換則適用于大部分信號，尤其是瞬時(shí)信號。它針對絕大部分信號的壓縮，去噪，檢測效果都特別好。

看到這里，你應該大概了解了小波變換針對傅立葉變換的優(yōu)點(diǎn)了。你也許對背后的原因還存在一些疑問(wèn)，并希望深入了解一些小波的構建等知識，請移步本系列第二篇：傅立葉變換，小波變換和motion信號處理：第二篇