有源濾波器中的相位關(guān)系

⁽⁵⁾

式中：H是電路的增益。



圖12. 2極點(diǎn)、多路反饋（MFB）、低通濾波器

該多路反饋濾波器會(huì )使信號反相。這等價(jià)于讓濾波器自身的相移增加了180°。圖4示出了相位－頻率變化關(guān)系（右軸）。這將被稱(chēng)為反相、二階、低通響應。值得注意的是，在得到給定響應特性的條件下，多路反饋結構中的最大和最小元件值之間的差異要大于Sallen－Key實(shí)現方案中的。

多路反饋（MFB）、高通濾波器
上面關(guān)于多路反饋、低通濾波器的評述也適用于高通的情形。圖13示出一個(gè)多路反饋、高通濾波器的原理圖，其理想的相移-濾波特性則示于圖5中（右軸）。這被稱(chēng)為反相、二階、高通響應特性。



圖13. 2極點(diǎn)、多路反饋（MFB）高通濾波器

要保證這種濾波器的具體電路實(shí)現在高頻情況下的穩定性是十分困難的，因為它是在一個(gè)微分器的基礎上構建的，與所有的微分器電路所類(lèi)似的是，它在更高的頻率上閉環(huán)增益更大，因此會(huì )對噪聲產(chǎn)生放大作用。

狀態(tài)變量型濾波器
圖14示出了一種狀態(tài)變量實(shí)現方案。該結構是最靈活和最精確的實(shí)現方案，付出的代價(jià)是電路元件的數量大大增加，其中包括了3個(gè)運放。所有3個(gè)主要的參數（增益、Q和ω₀）都可以獨立調節，而且可以同時(shí)提供低通、高通和帶通輸出。該濾波器的增益也是獨立的變量。

由于狀態(tài)變量濾波器的所有參數都可以獨立調節，故其元件值的散布變得很小。而且由于溫度和元件公差所帶來(lái)的失配也可以最小化。與上面的多路反饋電路類(lèi)似的是，積分器部分所使用的運放的增益帶寬積也成為電路的限制條件。



圖14. 2極點(diǎn)、狀態(tài)變量濾波器

其中低通濾波段的相移－頻率特性屬于一個(gè)反相的二階型響應（參見(jiàn)圖4，右軸），高通段電路將具有反相高通響應（參見(jiàn)圖5，右軸）。

雙二階（biquad）
狀 態(tài)變量濾波器的一個(gè)近親是雙二階型（參見(jiàn)圖15）。該電路的名稱(chēng)最早是由J. Tow于1968年使用的（見(jiàn)參考文獻6），后來(lái)由L.C. Thomas 于1971年使用（見(jiàn)文獻5），其工作是基于如下的事實(shí)：傳遞函數是兩個(gè)二階項之比。該電路與狀態(tài)變量電路之間存在輕微的區別。在這一結構中，不能提供單獨的高通輸出。不過(guò)它具有兩路低通輸出，其中一路是同相的（LOWPASS1），另一路是反相的（LOWPASS2）。



圖15. 標準的雙二階2極點(diǎn)電路

由于添加了第四個(gè)放大器電路，故可以實(shí)現高通、陷波（低通、標準和高通）以及全通型濾波器。圖16示出一個(gè)帶有高通電路的雙二階電路的原理圖。



圖16. 2極點(diǎn)雙二階濾波器（帶有高通段）

其中LOWPASS1段的相移－頻率特性屬于同相、二階、低通型響應（參見(jiàn)圖4的左軸）。LOWPASS2段將具有反相的二階型響應（參見(jiàn)圖4，右軸）。HIGHPASS段的相移特性屬于反相特性（參見(jiàn)圖5，右軸）。

結論
我們已經(jīng)看到用于構建一個(gè)濾波器的拓撲將影響其實(shí)際的相位響應。這會(huì )是確定所用的拓撲時(shí)需要考慮的一個(gè)因素。表1對本文中討論的各種低通濾波器結構的相移范圍進(jìn)行了比較。

相移特性隨Q的變化特性

上述的2階響應的Q值都是0.707。圖17示出了Q的變化對低通濾波器的相位響應的影響（對高通濾波器的影響也 類(lèi)似）。圖中繪出了Q = 0.1，0.5，0.707，1，2，5，10和20時(shí)的相位響應曲線(xiàn)。值得注意的是，Q值較低的情況下，在遠低于截止頻率的頻率上相位就開(kāi)始發(fā)生變化。



圖17. 相移隨Q值的變化特性

雖然幅值響應隨Q值的變化并非本文的主題，但也是一個(gè)令人感興趣的問(wèn)題。圖18示出了Q值在上述范圍內變化時(shí)一個(gè)2階濾波器的幅值響應特性。

當高Q電路應用于多級濾波器時(shí)，高Q電路的響應特性的尖峰現象也是令人感興趣的問(wèn)題。雖然在理論上這些電路段以何種順序來(lái)級聯(lián)并無(wú)差異，而在實(shí)踐中，把Q值較低的電路段置于高Q電路段之前將更為有利，這是為了讓尖峰現象不致于超出濾波器的動(dòng)態(tài)范圍。雖然該圖是針對低通段的，但高通響應也存在類(lèi)似的尖峰。



圖18. 隨著(zhù)Q值的變化，2極點(diǎn)濾波器的幅值尖峰特性的變化

高階次濾波器
傳遞函數可以級聯(lián)起來(lái)，構成更高階次的響應特性。當濾波器響應串連起來(lái)后，其在任意頻率上的dB增益（以及衰減）和相角都相加起來(lái)。正如我們在前面指出的那樣，多極點(diǎn)濾波器一般是利用級聯(lián)的二階電路段搭建的，對于奇次階濾波器，可以另外添加一段一階電路。兩個(gè)級聯(lián)的一階電路段并不能像單個(gè)二階濾波段那樣提供很寬的Q值變化范圍。

圖19示出一個(gè)通過(guò)傳遞函數級聯(lián)所構成的4階濾波器。這里，我們可以看到，濾波器是由兩個(gè)二階段所構成的。



圖19. 傳遞函數的級聯(lián)所構成的4極點(diǎn)濾波器

圖 20示出了構建一個(gè)4階濾波器的3種方式對相位響應的影響。第一種結構是利用兩個(gè)Sallen－Key（SK）Butterworth段搭建的。第二種是利用兩個(gè)多路反饋（MFB） Butterworth段搭建的。第三種是利用一個(gè)SK段和一個(gè)MFB段搭建的。但是，正如兩個(gè)級聯(lián)的一階電路段并不能構成一個(gè)二階電路段一樣，2個(gè)級聯(lián)的2階Butterworth段并不能等效于一個(gè)4階Butterworth段。第一段Butterworth濾波器的f₀為1，Q值為0.5412（α＝1.8477）。第二段的f₀為1，Q值為1.3065（α＝0.7654）。

正如前面所提到過(guò)的那樣，SK段是同相型的，而MFB是反相型的。圖20對這3種4階電路的相移特性進(jìn)行了比較。其中SK和MFB濾波器具有相同的相位響應特性，因為兩個(gè)反相段產(chǎn)生了同相響應（－1×－1＝＋1）。利用混合拓撲結構（SK和MFB）構建的濾波器的響應特性將偏移180° （+1 × –1 = –1）。



圖20. 不同結構的4階電路的相位響應

請注意，正如可以預料到的那樣，總的相移特性是一個(gè)2階電路段的兩倍360° vs. 180°。高通濾波器將擁有類(lèi)似的相位響應，但偏移相差180°。

該級聯(lián)的思想可以用來(lái)搭建更高階次的濾波器，但是，在實(shí)踐中，超過(guò)8階的濾波器很難實(shí)現。將來(lái)的文章將對帶通、陷波（帶阻）和全通濾波器的相位關(guān)系進(jìn)行考察。