有源濾波器中的相位關(guān)系

式中：ω = 頻率（弧度/秒）

ω₀= 中心頻率（弧度/秒）

以弧度/秒為單位的頻率等于2π乘以以Hz為單位的頻率，這是因為每個(gè)360°周期對應著(zhù)2π弧度。由于上面的表達式是一個(gè)無(wú)量綱的比值，故f和ω都可以采用。

中心頻率還可以被稱(chēng)為截止頻率（即該單極點(diǎn)、低通濾波器的幅值響應特性下降3dB——約30％——的頻率點(diǎn)）。在相位關(guān)系方面，中心頻率是相移量達到其最終值－–90°（在這個(gè)例子中）的50％時(shí)的頻率點(diǎn)。圖2是一幅半對數圖，描述了公式1所表述的相位響應關(guān)系，其頻率范圍是中心頻率以下的兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上的兩個(gè)十倍頻程。中心頻率（＝1）處的相位移動(dòng)為–45°。



圖2. 一個(gè)單極點(diǎn)、低通濾波器在中心頻率附近的相位響應（同相，左軸；反相響應，右軸） 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

類(lèi)似的，一個(gè)單極點(diǎn)的高通濾波器可以由下式給出：

(2)

圖3描繪了公式2所表示的、在中心頻率以下兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上兩個(gè)十倍頻程這一范圍內的響應特性。其歸一化的中心頻率（＝1）處的相移為+45°。

顯然，高通和低通特性類(lèi)似，只是相互間存在90°的相位差（π/2 radians）



圖3. 一個(gè)單極點(diǎn)、低通濾波器在中心頻率 1 附近的相位響應（同相，左軸；反相響應，右軸） 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

對于二階、低通的情形，傳遞函數的相移可以由下式近似表示為

(3)

式中α是濾波器的阻尼比。它將決定幅值響應曲線(xiàn)上的峰值以及相位曲線(xiàn)過(guò)渡段的陡峭程度。它是電路的Q值的倒數，這也決定了幅值滾降或相位偏移的陡峭程度。 Butterworth響應的α為1.414（Q＝0.707），可以產(chǎn)生最大平坦度響應特性。更低的α會(huì )使幅值響應特性曲線(xiàn)上出現尖峰。



圖4. 一個(gè)雙極點(diǎn)、低通濾波器的中心頻率 1 附近的相位響應（同相，左軸；反相響應，右軸） 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

圖4描繪了該式所表示的（α＝1.414）、在中心頻率以下兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上兩個(gè)十倍頻程這一范圍內的響應特性。這里，中心頻率（＝1）處出現的相位偏移為–90°。一個(gè)2極點(diǎn)、高通濾波器的相位特性響應可以由下式近似表示

⁽⁴⁾

圖5描繪了該式所表示的響應特性（同樣有α＝1.414），其范圍是中心頻率（＝1）以下兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上兩個(gè)十倍頻程，相應的相移為



圖5. 一個(gè)雙極點(diǎn)、高通濾波器的中心頻率 1 附近的相位響應（同相，左軸；反相響應，右軸） 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

同樣的，顯然高通和低通相位響應是類(lèi)似的，僅僅存在180°的相位偏移（π弧度）。在更 高階數的濾波器中，每個(gè)附加段的相位響應都累加到總的相移量之上。這一特性將在下面進(jìn)一步予以討論。為了與通常的實(shí)踐保持一致，所示出的相移被限制為±180°的范圍之內。例如，–181° 事實(shí)上等價(jià)于 +179°，360°等價(jià)于0°，依此類(lèi)推。

一階濾波器段
一階濾波器段可以以多種方式來(lái)構建。圖6示出最簡(jiǎn)單的一種結構，即使用無(wú)源的R－C架構。該濾波器的中心頻率為1/(2πRC)。它之后往往接一個(gè)同相的緩沖放大器，以防止濾波器之后的電路對其產(chǎn)生負載效應，負載會(huì )改變?yōu)V波器的響應特性。此外，緩沖器還可以提供一定的驅動(dòng)能力。相位響應如圖2所示，即在中心頻率點(diǎn)處產(chǎn)生45°的相移，正如傳遞函數所預測的那樣，這是因為沒(méi)有另外的元件改變相移特性。這種響應特性將被稱(chēng)為同相、一階、低通響應特性。只要緩沖器的帶寬顯著(zhù)高于濾波器，那么緩沖器就不會(huì )帶來(lái)相移。



圖6. 無(wú)源低通濾波器

請記住，這些圖中的頻率值是歸一化的，即相對于中心頻率的比值。例如，若中心頻率是5kHz，則這些圖將展示50Hz到500kHz范圍內的相位響應特性。

圖 7示出另外一種結構。該電路增加了一個(gè)并聯(lián)電阻，對積分電容進(jìn)行連續放電，從根本上來(lái)說(shuō)它是一個(gè)有損耗的積分器。其中心頻率同樣是1/(2πRC)。因為該放大器是以反相模式工作的，故反相模式將在相移特性上引入附加的180°相位。圖2示出了輸入－輸出的相位差隨頻率的變化，其中包括了放大器引入的反相（右軸）。該響應特性將被稱(chēng)為反相的、一階、低通響應。



圖7. 利用工作在反相模式的運放搭建的有源、單極點(diǎn)、低通濾波器

上面所示的電路可以衰減高頻分量而通過(guò)低頻分量，均屬于低通濾波器?？梢酝ㄟ^(guò)高頻分量的電路則與之類(lèi)似。圖8示出一個(gè)無(wú)源的一階、高通濾波器電路結構，其相位隨著(zhù)歸一化頻率的變化特性則示于圖3中（同相響應）。



圖8. 無(wú)源高通濾波器

圖3（左軸）的曲線(xiàn)被稱(chēng)為同相、一階、高通響應特性。該高通濾波器的有源電路示于圖9中。其相位隨頻率的變化示于圖3中（右軸）。這將被稱(chēng)為反相、一階、高通響應。



圖9. 有源、單極點(diǎn)、高通濾波器