使用巧妙的技術(shù)將無(wú)源音頻濾波器轉換為有源濾波器

該項目涵蓋了兩種引人入勝且有用的電路設計技術(shù)——伯頓變換和對偶——使我們能夠在構建音頻噪聲濾波器的同時(shí)，將無(wú)源網(wǎng)絡(luò )轉換為有源網(wǎng)絡(luò )。

之前，我介紹了一種“468-4”音頻濾波器的設計，它實(shí)現了標準化的噪聲測量，近似于對人們聽(tīng)音樂(lè )和說(shuō)話(huà)的主觀(guān)評估。

如該文章所述，有兩種主要方法可以制作有源濾波器，該濾波器提供468-4頻率響應并與現代音頻設備的阻抗水平相匹配：

將6.3kHz左右的傳統低通和高通有源濾波器合并。

使用巧妙的數學(xué)技術(shù)從無(wú)源電路推導出有源電路。

我之前介紹了第一種方法，現在本文將介紹第二種方法。

468-4無(wú)源濾波器的獨創(chuàng )設計

作為一個(gè)快速復習，圖1的網(wǎng)絡(luò )是在20世紀50年代開(kāi)發(fā)的，旨在提供所需的頻率響應，用于阻抗為600?的音頻系統。

用于600Ω電路的468-4濾波器的無(wú)源網(wǎng)絡(luò )實(shí)現

圖1。用于600Ω電路的468-4濾波器的無(wú)源網(wǎng)絡(luò )實(shí)現（點(diǎn)擊放大）。

源和負載電阻器分別顯示在左側和右側，但沒(méi)有信號源。這種電路需要在輸出端有一個(gè)放大器來(lái)補償其顯著(zhù)的插入損耗。

電感器電阻的影響

規范的頻率響應可能是通過(guò)測量受電感器損耗影響的原始網(wǎng)絡(luò )來(lái)確定的。

該規范要求電感器Q因子在10kHz時(shí)超過(guò)200，但這不是一個(gè)足夠的規范，原因有兩個(gè)：

電感器具有串聯(lián)電阻和（如果不是空心的）并聯(lián)損耗電阻，但我們不知道每個(gè)電阻的大小。

并聯(lián)損耗與頻率有關(guān)，因此無(wú)法通過(guò)固定電阻器完全建模。

對電感器的研究表明，在最低允許電感器Q為200的情況下，串聯(lián)和并聯(lián)電阻之間的損耗分布對頻率響應的影響非常小，即使在臨界的6kHz至14kHz范圍內也是如此。對于沒(méi)有電阻損耗的理想電感器也是如此。為了使并聯(lián)電容產(chǎn)生任何影響，它們必須在納法拉范圍內，當然，它們不是。

電容器變化的影響

說(shuō)明書(shū)還指出，33.06nF電容器的值可能需要調整，以滿(mǎn)足頻率響應的規定公差極限。我已經(jīng)使用LTspice模擬研究了這些影響。將33.06 nF電容器改變±5%的影響可以忽略不計（微珠?。?。

模擬組件變化的影響

在模擬中，我們可以在±5%的公差范圍內改變組件。所有網(wǎng)絡(luò )變體的頻率響應如圖2所示，規格限制以黃色突出顯示。

改變分量值對無(wú)源網(wǎng)絡(luò )468-4音頻噪聲濾波器的頻率響應幾乎沒(méi)有影響

圖2:改變分量值對無(wú)源網(wǎng)絡(luò )468-4音頻噪聲濾波器的頻率響應幾乎沒(méi)有影響（點(diǎn)擊放大）。

如圖2所示，頻率響應作為部件公差的函數變化不大，所有變體都符合規范。

小心插值

然而，您可能會(huì )注意到圖2的頻率響應曲線(xiàn)中以11 kHz為中心的奇怪駝峰。在上一篇文章的模擬和測量中也可以看到這種隆起。這看起來(lái)像是一個(gè)數據錯誤，但數據是正確的。

原因是我在模擬中復制了頻率響應規范中從10 kHz到12.5 kHz的大步。頻率步長(cháng)模擬中的這一大的8.1dB步長(cháng)迫使模擬繪圖工具對數據進(jìn)行插值以繪制曲線(xiàn)。

10kHz和12.5kHz之間的線(xiàn)性插值在11kHz下給出4.63dB的響應，而所有模擬網(wǎng)絡(luò )的響應都非常接近5.30dB。如果我們在模擬中添加額外的頻率步長(cháng)，那么11 kHz的光點(diǎn)幾乎消失了，如圖3所示。

增加額外的頻率步長(cháng)可以減少插值并消除響應曲線(xiàn)中的駝峰

圖3。添加額外的頻率步長(cháng)可以減少插值，并消除響應曲線(xiàn)中的駝峰（單擊放大）。

剩余的波峰和波谷是由于頻率響應規范中的舍入效應造成的。因此，最好將構建和測量的濾波器的結果與模擬無(wú)源網(wǎng)絡(luò )的頻率響應進(jìn)行比較，這兩種濾波器都具有非常小的舍入誤差。

將被動(dòng)網(wǎng)絡(luò )轉變?yōu)橹鲃?dòng)網(wǎng)絡(luò )

眾所周知，您可以通過(guò)將所有組件阻抗除以固定比例因子來(lái)“縮放”任何RLC網(wǎng)絡(luò )。只要源阻抗和負載阻抗包括在計算中，頻率響應就不會(huì )改變。

1968年，倫納德·布魯頓證明，如果比例因子是虛的（包括j，負1的平方根），布魯頓變換過(guò)程仍然有效。如果我們包括角頻率ω，它的工作效果特別好：

等式1。

解釋

f是以赫茲為單位的頻率。

用虛角頻率縮放電感器

我們將把所有的分量除以比例因子jω。讓我們從檢查阻抗為jωL的電感器的變化開(kāi)始。

等式2。

不要被L這個(gè)詞的使用所欺騙。這個(gè)阻抗與頻率無(wú)關(guān)，這意味著(zhù)它是一個(gè)電阻值為L(cháng)的電阻器。在我們的電路中用電阻器代替電感器將節省成本！

用虛角頻率縮放電阻器

現在，讓我們看看當我們將電阻器除以比例因子jω時(shí)會(huì )發(fā)生什么。

等式3。

這將使我們的電阻器變?yōu)殡娙葜禐椋?/R）的電容器。您可以將這個(gè)值識別為我們原始電阻器的電導G。

用虛角頻率縮放電容器

最后，讓我們把電容器的阻抗除以比例因子jω。

等式4。

這個(gè)結果看起來(lái)不太有希望。這是一個(gè)數學(xué)上真實(shí)的阻抗（沒(méi)有“j”），電壓與電流同相，就像電阻器一樣，但它是負的，并且與頻率有關(guān)。

它可以被稱(chēng)為頻率相關(guān)負電阻器（FDNR）或“D元件”這是一個(gè)向普通電阻器提供能量的有源元件，因此需要電源。幸運的是，它可以由運算放大器、電阻器和電容器構成。

使用對偶變換電路原理圖

如果我們回到圖1，我們可以看到C3的兩端都沒(méi)有接地。當它被轉換為D元件時(shí)，這將產(chǎn)生一個(gè)真正的問(wèn)題，因為這需要一個(gè)浮動(dòng)電源。在我們進(jìn)行伯頓變換之前，我們可以用另一個(gè)數學(xué)技巧和電路的對偶性質(zhì)來(lái)克服C3問(wèn)題。

在這個(gè)“雙重化”的過(guò)程中，我們可以通過(guò)進(jìn)行以下更改來(lái)轉換示意圖。

電壓源? 電流源

電感? 電容

反對? 電導

系列? 平行的

電感和電容改變了它們的性質(zhì)——它們儲存能量的方式以及它們的阻抗如何隨頻率變化。電阻和電導不會(huì )改變它們的性質(zhì)，所以我們可以將它們視為任何一種形式，而不會(huì )引入誤差。

組件的數值不會(huì )改變，盡管結果可能包括不可行的值（但稍后可以固定）。所得到的示意圖將具有相同的頻率響應。

如果我們將對偶過(guò)程應用于圖1的468-4濾波器電路，我們必須包括源和負載電阻器。這些電阻器的電導率從600Ω轉換為600 S（西門(mén)子），相當于1.667 m?的電阻器。

在468-4濾波器電路上完成我們的雙重轉換，得到了圖4底部所示的新示意圖。我已經(jīng)復制了圖4頂部的原始電路，所以您可以更容易地看到對偶變換。

原裝468-4音頻噪聲濾波器（頂部）和雙無(wú)源網(wǎng)絡(luò )版本（底部）

圖4。原裝468-4音頻噪聲濾波器（頂部）和雙無(wú)源網(wǎng)絡(luò )版本（底部）（點(diǎn)擊放大）。

很明顯，以納米亨、毫歐姆和毫法拉為單位的元件值，這是一個(gè)非常低阻抗的網(wǎng)絡(luò )。不用擔心，我們可以解決這個(gè)問(wèn)題！

使用Bruton變換縮放分量值

現在，我們來(lái)談?wù)劻硪粋€(gè)聰明的地方：使用Bruton變換轉換組件值。我們可以引入一個(gè)新的因子來(lái)將所有組件值縮放到更方便的值。

我們將首先將1.667 mS的源和負載電導轉換為1 nF的合理電容器大小。如前所述，Bruton變換使用以下方程將電阻器轉換為電容器：

等式5。

現在，讓我們計算一下比例因子：

比例因子

等式6。

不要擔心這是一個(gè)非常高的數字；這只是一個(gè)比例因子。

將電阻器值除以比例因子，得到電容器值（等效地，將電導值乘以比例因子）。

將電容器值除以比例因子，得到D值。

多個(gè)電感值通過(guò)比例因子得到電阻值。

圖5是我們在所有電路元件上完成Bruton變換后的電路。

D元素沒(méi)有一個(gè)標準的單位名稱(chēng)，但我們只會(huì )稱(chēng)之為bruton，并給它一個(gè)符號Br。我們得到的D值是以femtobutons為單位的，但沒(méi)關(guān)系。我們可以使用可感測的元件值由運算放大器、電阻器和電容器制成。請注意，它們的阻抗只是負電阻器，具有以歐姆為單位的頻率相關(guān)值。

用于負電阻的廣義阻抗轉換器

我們將使用通用阻抗轉換器（GIC）創(chuàng )建我們的D元件。對它們如何工作的解釋相當長(cháng)，而且是數學(xué)性的（簡(jiǎn)單的數學(xué)，但很多）。

GIC示意圖如圖6所示。

通用阻抗轉換器原理圖。

圖6。通用阻抗轉換器原理圖。

GIC端子之間的阻抗Z由以下公式給出：

等式7。

我們需要一個(gè)串聯(lián)鏈中有兩個(gè)電容器和三個(gè)電阻器的GIC，如圖7所示。

帶有元件值的最終D元件示意圖

圖7。帶有元件值的最終D元件示意圖（單擊放大）。

我們再次為電容器C1和C2選擇了1nF的方便值。同樣，R1和R2在10kΩ（另一個(gè)方便的值）下選擇。

必須計算R3值，以便在圖6的示意圖中給出兩個(gè)D元素的正確值，使用：

等式8。

等式9。

我們得到的R3值與R1和R2具有相同的數量級。

用LTspice模擬我們的濾波器設計

我們現在可以使用LTspice來(lái)模擬我們的過(guò)濾器，以檢查它是否按預期工作。圖8顯示了LTspice示意圖，其中還包括無(wú)源濾波器作為參考。

468-4音頻噪聲濾波器的LTspice模擬示意圖

圖8。468-4音頻噪聲濾波器的LTspice模擬示意圖（點(diǎn)擊放大）。

示意圖顯示了電阻器的精確值，可以由E12±1%公差電阻器的串聯(lián)或并聯(lián)組合制成。我使用TL07x運算放大器進(jìn)行此模擬。

這種類(lèi)型的濾波器實(shí)現被聲稱(chēng)比使用傳統濾波器部分的實(shí)現更能容忍組件值。然而，這是一個(gè)過(guò)于復雜的問(wèn)題，不能在這里討論。

圖9顯示了模擬的結果。

模擬響應與468-4音頻噪聲濾波器參考值和規定公差的偏差

圖9。模擬響應與468-4音頻噪聲濾波器參考和指定公差的偏差（點(diǎn)擊放大）。

顯然，高達10kHz的結果非常好，并且在高達31.5kHz的較低容差內保持，但它確實(shí)下降了。這是由于運算放大器的帶寬有限。使用更快的運算放大器（如NE5532）可以獲得更好的結果，但這些運算放大器需要更多的供電電流。

關(guān)于電路穩定性的警告

最終，我決定使用LM4562運算放大器進(jìn)行硬件設計（如下所示）。當使用速度快得多的運算放大器時(shí)，由于復雜的閉環(huán)配置，存在其中一個(gè)GIC變得不穩定的真正風(fēng)險。

當使用任何Spice或類(lèi)似的模擬工具時(shí)，強烈建議除了運行頻域掃描（Spice中的.AC）外，還運行時(shí)域模擬（在Spice中稱(chēng)為.TRAN）。這個(gè)交流頻率模擬無(wú)法檢測到振蕩。內部振蕩的一個(gè)很好的指標是。TRAN模擬運行非常緩慢。

最終測試：構建468-4音頻噪聲濾波器

關(guān)鍵的測試是在現實(shí)世界中構建過(guò)濾器并測量其性能。圖10顯示了硬件原理圖，它是我之前的寬帶電壓計項目的附加組件。

使用LM4562運算放大器的468-4音頻噪聲濾波器示意圖

圖10。使用LM4562運算放大器的468-4音頻噪聲濾波器的示意圖（單擊放大）。

此設計包括與先前音頻噪聲濾波器設計中所展示的相同的增益調整電路。然而，該濾波器的增益變化范圍預計較小。

圖11顯示了真實(shí)電路的頻率響應與無(wú)源電路的模擬響應的比較。偏差只能檢測到，而且只是分貝的一小部分。成功

模擬的無(wú)源和測量的有源音頻噪聲濾波器響應

圖11。模擬的無(wú)源和測量的有源音頻噪聲濾波器響應（點(diǎn)擊放大）。

這就是目前所有的過(guò)濾器。是時(shí)候讓我做一些不同的事情了。