參數根軌跡和多回路系統的根軌跡

4.6.1 參數根軌跡

⒈引言

前面討論系統根軌跡的繪制方法時(shí)，都是以開(kāi)環(huán)增益K為可變參數，這是在實(shí)際上最常見(jiàn)的情況。上述以開(kāi)環(huán)增益K 為可變參量繪制的根軌跡稱(chēng)為常規根軌跡。從理論上講，可變參量可以選擇為系統的任何參數，如開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)，時(shí)間常數和反饋系數等，這種以K以外的系統其他參量作為可變參量繪制的根軌跡，稱(chēng)作參數根軌跡，又稱(chēng)廣義根軌跡。用參數根軌跡可以分析系統中的各種參數，如開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)，時(shí)間常數和反饋系數等對于系統性能的影響。

⒉思路和方法

如果選擇系統其他參量為可變參量時(shí)，引入等效傳遞函數的概念，即作一個(gè)變換，使得此可變參量在等效傳遞函數中相當于開(kāi)環(huán)增益K的位置，則上面介紹的幅角、幅值條件和繪制根軌跡的各種規則都依然有效。

上述變換的方法是對系統的特征方程作一個(gè)除法，即以特征方程中不含有該參數項的各項去除該方程，便可得到 的形式，其中，就是要引入的等效傳遞函數。

例4-4 設反饋系統如圖4-16所示 ，試繪制以a為參變量的根軌跡。

⑴. 常規方法

⑴. 系統的開(kāi)環(huán)傳遞函數為

系統的特征方程為

以不含a的項，即，除以上式得

得等效開(kāi)環(huán)傳遞函數：

式中

據此,可用“常規方法”作出其根跡，如圖4-17所示（可證明，其部分根跡為園?。?。

①.根跡的起迄點(diǎn)及條數:
兩條根跡分支,分別起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-1+j3、-1-j3,終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)0和s平面∞處。

②.實(shí)軸上的根跡：
負半實(shí)軸為根跡。

③.會(huì )合點(diǎn)：

由 。

④.復數極點(diǎn)-1+j3出射角：

⑵.“MATLAB”方法

①解本題的MATLAB程序exe44.m

% ks/(s2+2s+10)
n=[1 0]
d=[1 2 10]
rlocus(n,d)

②執行本程序,可得圖4-17參數根軌跡圖。

4.6.2 多回路系統的根軌跡

1.引言

前面介紹單環(huán)系統根跡，不僅適合單環(huán)，而且也適合多環(huán)系統。

2.思路和方法

先作內環(huán)根跡，再用幅值條件試探求出內環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)，進(jìn)而作為外環(huán)的一部分開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，再畫(huà)出外環(huán)的根跡。

例4-5 設一雙環(huán)反饋系統，如圖4-18所示 。試繪制以 c為參變量的根軌跡。

⑴.常規方法

①.先作內環(huán)根跡:
內環(huán)開(kāi)環(huán)傳遞函數為：

此與例4-1相同，這里不再重復。

②.求出 =1.06 時(shí)的內環(huán)閉環(huán)極點(diǎn)(用試探法):
由§4―3可知，為：-0.33+j0.58、 -0.33-j0.58、 -2.33

③.內環(huán)的閉環(huán)傳遞函數為：

④. 內環(huán)化簡(jiǎn)后外環(huán)的開(kāi)環(huán)的傳遞函數為：

⑤.外環(huán)（系統）根軌跡:

·根軌跡有四條分支：

分別自0, -2.33,-033+j0.58,0.33-j0.58。至-1,-3,和s平面∞處。

·實(shí)軸上根跡：

在 0 至-1,-2至-2.33,-3至-∞是根軌跡。

·根跡漸近線(xiàn)：

由公式求得σα=0.5,α=±90B 。

·復數極點(diǎn)-0.33+j0.58,外的出射角：

φ=8.06B 。

·根跡與虛軸交點(diǎn)：

·系統外環(huán)根跡:

如圖4-19所示.

⑵.“MATLAB”方法

①.解本題的MATLAB程序exe45.m:
% k(s+1)(s+3)/s(s+0.33+0.58i)(s+0.33-0.58i)(s+2.33)
z=[-1 –3]’;
p=[0 –2.33 –0.33+0.58i –0.33-0.58i]’;
k=1;
[n,d]=zp2tf(z,p,k);
rlocus(n,d)
title(‘4-19’)

②.執行本程序,可得外環(huán)根軌跡圖4-19。