繪制根軌跡的數學(xué)依據及其性質(zhì)

⒈系統方塊圖：如圖4-3 所示。

2.:

注：
(1)．………開(kāi)環(huán)放大系數,增益,傳遞系數。

……時(shí)間常數。
………開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)形式的傳遞系數。
……開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)的負值。

(2).與與關(guān)系：

4.2.2 特征方程D(s)=0 的幾種表達形式：

⒈.閉環(huán)傳遞函數的幾種形式：

⑴.

⑵.

⒉" " 的幾種形式：

⑴.

⑵.

⑶.

⑷.

⑸.(k=0,1,2,3,……)

⑹.

4.2.3繪制根跡的數學(xué)依據：

⒈. 幅角條件,幅值條件--幅相條件:

⑴.所謂幅角條件(相角條件):

①.(k=0,1,2,3,……) （4-1）
②. 幅角條件是繪制根跡的根本依據
--根平面上凡是滿(mǎn)足幅角條件的點(diǎn)的全體就是根跡。
③.可利用幅角條件畫(huà)根跡。

⑵.所謂幅值條件:

①.(4-2)
②.根跡上凡是滿(mǎn)足幅值條件的點(diǎn),就是相應K值的閉環(huán)極點(diǎn)sb,即的根。
③.可利用幅值條件確定相應于sb的K。

⑶. 幅角條件與幅值條件不同點(diǎn):

①幅角條件與K無(wú)關(guān)。
②.據幅值條件可知,幅值改變，相應于K在改變。

⑷.例

仍以圖4-1所示的系統為例,用幅角條件來(lái)求 由0→+∞變化時(shí)根軌跡,并用幅值條件確定使閉環(huán)系統的一對共軛復數極點(diǎn)的阻尼比ξ等于0.707時(shí)的K值。
對于上述給定系統,其幅角條件為：

(k=0,1,2,3,……)
其幅值條件為：

綜上可知,在作根軌跡圖時(shí),只需應用幅角條件,即可畫(huà)出根的軌跡,然后利用幅值條件可求出根軌跡上某一點(diǎn)的相應的K值。因為在圖紙上繪制根軌跡的過(guò)程中,需要對幅角和幅值進(jìn)行圖解測量,故必須將橫坐標軸與縱坐標軸按同樣的尺度進(jìn)行等分。

⒉.繪制根軌跡步驟如下:

⑴.在S平面上畫(huà)出開(kāi)環(huán)極點(diǎn):
有兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，以×表示。
見(jiàn)圖4-4。

⑵.確定實(shí)軸上的根軌跡:
如果試驗點(diǎn)位于正實(shí)軸上，則這表明不滿(mǎn)足幅角條件。因此，在正實(shí)軸上沒(méi)有根軌跡。 若將試驗點(diǎn)選在負實(shí)軸上,之間。
這時(shí)因此
即滿(mǎn)足幅角條件。

因此, 在負實(shí)軸上之間這一段是根軌跡一部分。

如果把試驗點(diǎn)選在負實(shí)軸上之間。這時(shí) 此顯然不滿(mǎn)足幅角條件。故在負實(shí)軸上從之間這一段,不是根軌跡一部分。

綜上,實(shí)軸上的根軌跡，存在于負實(shí)軸上之間。

⑶.確定S平面上,除了實(shí)軸以外的其它根軌跡:
在S平面上任取一點(diǎn) (見(jiàn)圖4-4),令╱s =Λ1, ╱s+p =Λ2 。如果 位于根軌跡上，則應滿(mǎn)足幅角條件，即Λ1＋Λ2＝180L。顯然，只有位于坐標原點(diǎn)之間線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn),才能滿(mǎn)足幅角條件，因此S平面上,該垂直平分線(xiàn)也是根軌跡的一部分。

綜上所述，根據幅角條件求得并畫(huà)出當K由0→+∞變化時(shí)根軌跡與圖 4-2按公式直接計算根的值所畫(huà)出的根軌跡是完全一樣的，且前者不受系統方程階次的限制，明顯優(yōu)于后者。

⑷.確定一對阻尼比ξ為0.707的共軛復數閉環(huán)極點(diǎn):

這對閉環(huán)極點(diǎn)，位于通過(guò)原點(diǎn)且與負實(shí)軸夾角為 的直線(xiàn)上.由圖可以求出,當ξ=0.707時(shí), 這一對閉環(huán)極點(diǎn)為

與這對極點(diǎn)相應的 值,可用幅值條件確定為